Закон сохранения энергии в электрическом поле. Закон сохранения энергии в конденсаторных схемах

Всеобщий закон природы. Следовательно, он применим в том числе, и к электрическим явлениям. Рассмотрим два случая превращения энергии в электрическом поле:

1. Проводники являются изолированными ($q=const$).
2. Проводники соединены с источниками тока при этом не изменяются их потенциалы ($U=const$).

Закон сохранения энергии в цепях с постоянными потенциалами

Допустим, что имеется система тел, которая может включать в себя как проводники, так и диэлектрики. Тела системы могут совершать малые квазистатические перемещения. Температура системы поддерживается постоянной ($\to \varepsilon =const$), то есть тепло подводится к системе, или отводится от нее при необходимости. Диэлектрики, входящие в систему будем считать изотропными, плотность их положим постоянной. В этом случае доля внутренней энергии тел, которая не связана с электрическим полем изменяться не будет. Рассмотрим варианты превращений энергии в подобной системе.

На любое тело, которое находится в электрическом поле, действуют пондемоторные силы (силы, действующие на заряды внутри тел). При бесконечно малом перемещении пондемоторные силы выполнят работу $\delta A.\ $Так как тела перемещаются, то изменение энергии dW. Так же при перемещении проводников изменяется их взаимная емкость, следовательно, для сохранение потенциала проводников неизменным, необходимо изменять заряд на них. Значит, каждый из источников тора совершает работу равную $\mathcal E dq=\mathcal E Idt$, где $\mathcal E $ - ЭДС источника тока, $I$ -- сила тока, $dt$ - время перемещения. В нашей системе возникнут электрические токи, и в каждой ее части выделится тепло:

По закону сохранения заряда, работа всех источников тока равна механической работе сил электрического поля плюс изменение энергии электрического поля и тепло Джоуля -- Ленца (1):

В случае если проводники и диэлектрики в системе неподвижны, то $\delta A=dW=0.$ Из (2) следует, что вся работа источников тока превращается в тепло.

Закон сохранения энергии в цепях с постоянными зарядами

В случае $q=const$ источники тока не войдут в рассматриваемую систему, тогда левая часть выражения (2) станет равна нулю. Помимо этого, тепло Джоуля - Ленца возникающее за счет перераспределения зарядов в телах при их перемещении обычно считают несущественным. В таком случае закон сохранения энергии будет иметь вид:

Формула (3) показывает, что механическая работа сил электрического поля равна уменьшению энергии электрического поля.

Применение закона сохранения энергии

Используя закон сохранения энергии в большом количестве случаев можно рассчитать механические силы, которые действуют в электрическом поле, при чем сделать это порой существенно проще, чем, если рассматривать непосредственное действие поля на отдельные части тел системы. При этом действуют по следующей схеме. Допустим необходимо найти силу $\overrightarrow{F}$, которая действует на тело в поле. Полагают, что тело перемещается (малое перемещение тела $\overrightarrow{dr}$). Работа искомой силы равна:

Пример 1

Задание: Вычислите силу притяжения, которая действует между пластинами плоского конденсатора, который помещен в однородный изотропный жидкий диэлектрик с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon $. Площадь пластин S. Напряжённость поля в конденсаторе E. Пластины отключены от источника. Сравните силы, которые действуют на пластины при наличии диэлектрика и в вакууме.

Так как сила может быть только перпендикулярна пластинам, то перемещение выберем по нормали к поверхности пластин. Обозначим через dx перемещение пластин, то механическая работа будет равна:

\[\delta A=Fdx\ \left(1.1\right).\]

Изменение энергии поля при этом составит:

Следуя уравнению:

\[\delta A+dW=0\left(1.4\right)\]

Если между пластинами находится вакуум, то сила равна:

При заполнении конденсатора, который отключен от источника, диэлектриком напряженность поля внутри диэлектрика уменьшается в $\varepsilon $ раз, следовательно, уменьшается и сила притяжения пластин во столько же раз. Уменьшение сил взаимодействия между пластинами объясняется наличием сил электрострикции в жидких и газообразных диэлектриках, которые расталкивают пластины конденсатора.

Ответ: $F=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0E^2}{2}S,\ F"=\frac{\varepsilon_0E^2}{2}S.$

Пример 2

Задание: Плоский конденсатор частично погружен в жидкий диэлектрик (рис.1). При зарядке конденсатора жидкость втягивается в конденсатор. Вычислить силу f, с которой поле действует на единицу горизонтальной поверхности жидкости. Считать, что пластины соединены с источником напряжения (U=const).

Обозначим через h- высоту столба жидкости, dh - изменение (увеличение) столба жидкости. Работа искомой силы при этом будет равна:

где S -- площадь горизонтального сечения конденсатора. Изменение электрического поля равно:

На пластины перейдет дополнительный заряд dq, равный:

где $a$ -- ширина пластин, учтем, что $E=\frac{U}{d}$ тогда работа источника тока равна:

\[\mathcal E dq=Udq=U\left(\varepsilon {\varepsilon }_0E-{\varepsilon }_0E\right)adh=E\left(\varepsilon {\varepsilon }_0E-{\varepsilon }_0E\right)d\cdot a\cdot dh=\left(\varepsilon {\varepsilon }_0E^2-{\varepsilon }_0E^2\right)Sdh\left(2.4\right).\]

Если считать, что сопротивление проводов мало, то $\mathcal E $=U. Используем закон сохранения энергии для систем с постоянным током при условии постоянства разности потенциалов :

\[\sum{\mathcal E Idt=\delta A+dW+\sum{RI^2dt\ \left(2.5\right).}}\]

\[\left(\varepsilon {\varepsilon }_0E^2-{\varepsilon }_0E^2\right)Sdh=Sfdh+\left(\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0E^2}{2}-\frac{{\varepsilon }_0E^2}{2}\right)Sdh\to f=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0E^2}{2}-\frac{{\varepsilon }_0E^2}{2}\ .\]

Ответ: $f=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0E^2}{2}-\frac{{\varepsilon }_0E^2}{2}.$

Под напряжением на некотором участке электрической цепи понимают разность потенциалов между крайними точками этого участка. Пусть имеется некоторый участок цепи (рис. 1.7), крайние точки которого обозначены буквами а и b. Пусть ток I течет от точки а к точке b (от более высокого потенциала к более низкому). Следовательно, потенциал точки а(φ a) выше потенциала точки b(φ b) на значение, равное произведению тока I на сопротивление R : φ a =φ b +IR.

Рис. 1.7

В соответствии с определением напряжение между точками а и b U ab = φ a - φ b .

Следовательно, U ab =IR , т.е. напряжение на сопротивлении равно произведению тока, протекающего по сопротивлению, на значение этого сопротивления.

В электротехнике разность потенциалов на концах сопротивления принято называть либо напряжением на сопротивлении, либо падением напряжения.

Положительное направление падения напряжения на каком-либо участке (направление отсчета этого напряжения), указываемое на рисунках стрелкой, совпадает с положительным направлением отсчета тока, протекающего по данному сопротивлению.

Рассмотрим вопрос о напряжении на участке цепи, содержащей кроме сопротивления R , ЭДС Е (рис. 1.8, а , б). Найдем разность потенциалов (напряжение) между точками а и с для этих участков. По определению U a с = φ a - φ с . Выразим потенциал точки а через потенциал точки с . При перемещении от точки с к точке b встречно направлению ЭДС Е (см. рис. 1.8, а ) потенциал точки b оказывается меньше, чем потенциал точки с , на значение ЭДС Е: φ b = φ c -E . При перемещении от точки с к точке b согласно направлению ЭДС Е (рис.1.8, б ) потенциал точки b больше, чем потенциал точки с ,на значение ЭДС: φ b = φ c +E .

Так как ток течет от более высокого потенциала к более низкому, в обеих схемах потенциал точки а выше потенциала точки b на величину падения напряжения на сопротивлении R :φ а = φ b +IR .

а) б )

Рис. 1.8

Таким образом, для рис. 1.8, а :

(1.1)

для рис. 1.8, б:

(1.2)

Положительное направление напряжения U a с показывают стрелкой от а к с . Согласно определению, U са = φ с - φ а, поэтому U ас =-U са, т.е. изменение чередования индексов равносильно изменению знака этого напряжения. Следовательно, напряжение может быть как положительной величиной, так и отрицательной.

Закон Ома для участка цепи, не содержащего ЭДС Е, устанавливает связь между током и напряжением на этом участке. Применительно к рис.1.7

Или . (1.3)

Закон Ома для участка цепи, содержащего источник ЭДС Е , позволяет найти ток этого участка по известной разности потенциалов (φ a - φ с) на концах этого участка цепи и имеющейся на участке ЭДС Е.

Так, из уравнения (1.1) для схемы рис.1.8, а следует

.

Из уравнения (1.2) для схемы рис.1.8, б следует:

.

В общем случае

. (1.4)

Все электрические цепи подчиняются первому и второму законам Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа можно сформулировать двояко:

1) алгебраическая сумма токов, подтекающих к какому-либо узлу схемы, равна нулю;

2) сумма подтекающих клюбому узлу токов равна сумме утекающихот этого узла токов.

Рис. 1.9

Применительно к рис.1.9, если подтекающие токи к узлу считать положительными, а вытекающие - отрицательными, то согласно первой формулировке I 1 -I 2 -I 3 -I 4 = 0; согласно второй I 1 =I 2 +I 3 +I 4 . Физически первый закон Кирхгофа означает, что движение электрических зарядов в цепи происходит так, что ни в одном из узлов они не скапливаются. В противном случае изменялись бы потенциалы узлов и токи в ветвях.

Второй закон Кирхгофа также можно сформулироватьдвояко:

1) алгебраическая сумма падений напряженияв любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в данный контур:

, (1.5)

где m - число резистивных элементов; п – число ЭДС в контуре (в каждую из сумм соответствующие слагаемые входят со знаком плюс, если они совпадают с направлением обхода контура, и со знаком минус, если они не совпадают с ним);

2) алгебраическая сумма напряжений вдоль любого замкнутого контура

где т - число элементов контура.

Второй закон Кирхгофа является следствием равенства нулю циркуляции вектора напряженности электрического поля вдоль любого замкнутого контура в безвихревом поле.

Законы Кирхгофа справедливы длялинейных и нелинейных цепей при любом характере изменения во времени токов и напряжений.

При протекании токов по сопротивлениям в них выделяется теплота. На основании закона сохранения энергии количество теплоты, выделяющееся в единицу времени в сопротивлениях цепи, должно равняться энергии, доставляемой за то же время источником питания. Если направление тока I , протекающего через источник ЭДС E , совпадает с направлением ЭДС, то источник ЭДС доставляет в цепь энергию в единицу времени, равную EI , и произведение ЕI входит в уравнение энергетического баланса с положительным знаком. Если же направление тока I встречно ЭДС Е, то источник ЭДС не поставляет энергию, а потребляет ее (например, заряжается аккумулятор), и произведение ЕI войдет в уравнение энергетического баланса с отрицательным знаком. Уравнение энергетического баланса при питании только от источников ЭДС имеет вид

. (1.7)

В случае питания электрической цепи не только источниками ЭДС, но и источниками тока, при составлении уравнения энергетического баланса необходимо учесть и энергию, доставляемую источниками тока. Предположим, что к узлу а схемы подтекает ток J от источника тока, а от узла b этот ток утекает. Доставляемая источником тока мощность равна U а b J. Общий вид уравнения энергетического баланса:

1.4. Эквивалентные преобразования пассивных участков

электрической цепи

При наличии в цепи только одного источника энергии в большинстве случаев цепь можно рассматривать как смешанное соединение источника и приемников энергии, т.е. нескольких резисторов, соединенных между собой параллельно, включенных последовательно с другими сопротивлениями (рис.1.10). Расчет смешанного соединения целесообразно начинать с определения эквивалентной проводимости параллельного соединения, а на основании этой проводимости легко найти обратную величину - эквивалентное сопротивление разветвления R . Для схемы, приведенной на рис. 1.10, а :

После замены разветвления эквивалентным сопротивлением (рис. 1.10, б ) цепь можно рассчитывать как последовательное соединение; ток в неразветвленной части цепи:

а) б )

Рис. 1.10

В ряде случаев расчет сложной схемы, состоящей из линейных сопротивлений, существенно упрощается, если в этой схеме заменить группу сопротивлений другой эквивалентной группой, в которой сопротивления соединены иначе, чем в замещаемой группе. Взаимная эквивалентность двух групп сопротивлений выразится в том, что после замены электрические условия во всей остальной схеме не изменятся.

Рассмотрим преобразование звезды в треугольник и треугольника в звезду. Соединение трех сопротивлений, имеющих вид трехлучевой звезды, называют звездой (рис. 1.11), а соединение трех сопротивлений так, что они образуют собой стороны треугольника, - треугольником (рис.1.12). Обозначим токи, подтекающие к узлам 1 , 2 , 3 , через I 1 , I 2 и I 3 . Выведем формулы преобразования. С этой целью выразим токи I 1 , I 2 и I 3 в звезде и в треугольнике через разности потенциалов точек и соответствующие проводимости.

Рис. 1.11

Для звезды:

, (1.9)

; ; , (1.10)

гдеφ о, φ 1 , φ 2, φ 3 - потенциалы в точках 0 , 1 , 2 , 3 соответственно. Подставим (1.10) в (1.9) и найдем φ 0 :

. (1.11)

Подставим j о в выражение (1.10) для тока I 1:

. (1.12)

С другой стороны, для треугольника в соответствии с обозначениями на рис. 1.12

Закон сохранения энергии в конденсаторных схемах Задача 1  A  Q 0 W A  kмех  ист Вариант 1 При разомкнутом ключе К2 ключ К1 замыкают и после окончания переходных процессов размыкают. После этого замыкают ключ К2. Решение. По закону сохранения энергии изменение энергии в конденсаторе определяется соотношением мехA  ­ работа механических сил равна нулю, так как нет перемещений внутри конденсаторов. истA  ­ работа источника тока равна нулю, так как при замыкании ключа К2 ключ К1 разомкнут, источник тока отключен. Q  количество теплоты, которое выделяется при движении зарядов. W W кн Начальная и конечная энергии конденсаторов соответствуют соответственно разомкнутому и замкнутому ключу К2. Для начального состояния (конденсаторы заряжаются от источника тока): Q Q W W кк       0 кн кк Для конечного состояния (в схеме остаются только конденсатор С2 и параллельный ему конденсатор С3.). Заряды конденсаторов сохраняются., так как цепь разомкнута. q 23  2 Ec W кк   2 q 23 2 C 23  2 2 E c 4   2 (c 2) c  2 3 2 E c Подставляем энергии конденсаторов в соотношение для Q и получим ответ. 2 Q E c   Вариант 2. 2 3 2 E c  1 3 2 E c  2 c C o  q o  W кн  2) c 2 c Ec 2 1    () C C C 6 (c c 3     c C C C c 6 3 2 1      q q q 2 E C 1 3  2 С U 2 с E о 2 2 cE 2 2 о   2 o кн  ист Q A kk  ист   kkкн  При разомкнутом ключе К2 ключ К1 замыкают и после окончания переходных процессов замыкают ключ К2. Решение. В этом случае ключ К2 замыкают под напряжением, источник тока остается подключенным постоянно, участвует в перезарядке конденсаторов, поэтому совершает работу. Закон сохранения энергии в этом случае принимает вид:  W W Q W W A Начальное состояние схемы такое же, как в варианте 1, поэтому начальные заряды и энергия конденсаторов соответствуют рассчитанным. В конечном состоянии после замыкания ключа К2 оставшиеся параллельно соединенные конденсаторы С2 и С3 будут заряжаться (дозаряжаться) от источника тока. C q ok     c C C 3 2 ok    3 Ec E C ok 2 2 C E 3 E c ok 2 2 Работа источника тока: E q E q A (ист ok Подставляем энергии конденсаторов в соотношение для Q и получим ответ.       E (3 Ec  2 Ec)  q oн)  2 E c 2 c  3 c W kk   2 Q E c   2 2 E c E c   2 E c 3 2 1 3 Одинаковый ответ в первом и втором варианте – это не закономерность, а случайность. Задача 2 В исходном состоянии для схемы рис.2 С1=2С, С2=3С, э.д.с. источника тока равна E. В плоском воздушном конденсаторе С1 с помощью внешней силы пластины очень быстро раздвинули, увеличив расстояние между пластинами в 2 раза. Какое количество теплоты выделится в схеме в последующем переходном процессе? Решение. При быстром движении пластины против силы Кулона заряд пластин сохраняется, сила Кулона совершает отрицательную работу, а внешняя сила – положительную работу. Вторая пластина двигается в поле первой пластины, электроемкость первого конденсатора уменьшается в 2 раза. A мех  F k   dЕ q 1 2 q   d q н 1  2 S 0  2 н d 2 q d   1 н  2 S 0 2 q  1 н 2 C н Для начального состояния (до начала движения) : C 0 н  1 н  С C 2  C C 2 1 н  q 0 н  q 1 н  q 2 н   2 3 c c  3 2 c c Ec 6 5   6 5 c A мех  2 2 36 E c  25 2  0,72 2 E c W кн  2 6 сE  5 2  0,6 2 E c Так как электроемкость С1 уменьшилась быстро, то при последующем переходном процессе напряжение на нем должно увеличиваться, поэтому для того чтобы сумма напряжений на С1 и С2 оставалась равна E, заряд будет уходить в источник тока, значит, источник тока будет совершать отрицательную работу. Для конечного состояния:  3 c c  3 c c  C C 2  C C 1 3 4 C 0    c 1 k 2 k k k н 0 2 2 ()       E q 0 W кк A ист (E q 0 3 cE  2 4 C E k 2 3 4 3 8 Закон сохранения энергии W W Q Q W W AА Задача 3  kkкн    мех  kkкн  ист  мех   ист AА cE Ec  6 5 Ec)   9 20 2 E c   0, 45 2 E c 2  0,375 cE 2   (0,375 0,6 0,72 0, 45) E c    2  0, 495 E c 2 В исходном состоянии для схемы рис.3 С1= С2=С, э.д.с. источника тока равна E. В плоском воздушном конденсаторе С1 с помощью внешней силы пластины очень быстро cдвинули, уменьшив расстояние между пластинами в 2 раза. Какое количество теплоты выделится в схеме в последующем переходном процессе? Решение. Для начального состояния:    с с  2 CС oн с 2 qЕ С он   сЕ W он  2   кн 2  С 1 н 2 сE  сЕ 2 2 При быстром перемещении пластин конденсатора все заряды сохраняются, а электроемкость первого конденсатора увеличивается в 2 раза. При этом для постоянства разности потенциалов на источнике тока необходим больший заряд, поэтому в последующем переходном процессе заряд потечет от источника тока, и источник тока будет совершать положительную работу. 2 c сЕ)     qсЕ c ок  3 c 2 3 C oк  сЕ    2 C c 1 к  2 (3 AЕ сЕ ист 2 3 сЕ 2 W кк  A мех   2 q 1 н  2 S oн d  н 2 2 q   1 н 4 Cс 1   2 2 Е с 4 2   сЕ 4 Так как сила Кулона совершает отрицательную работу, то внешняя сила – положительную работу при перемещении на расстояние   Q W WА кк кн Задача 4  А ист   сЕ мех 2 нd 1 2  cЕ 1,5 .  2 сЕ 2  0,25 cЕ 2  0,25 cЕ 2 1 01 02 0   Решение. Данная задача с ненулевыми начальными условиями и особенность ее в том, что при замыкании ключа К суммарный заряд правой пластины конденсатора C1 и левой пластины конденсатора С2 неравен нулю:  ­ для согласного включения конденсаторов q U C U C 0 2 (полярности так, как на рисунке 4). Этот заряд будет сохраняться (по закону сохранения электрического заряда) при любых последующих переходных процессах. Так как схема подключена к источнику тока, то при замыкании ключа К заряды конденсаторов (правых пластин) изменятся и будут равны после переходного процесса q1 и q2 , а напряжения U1 и U2. Эти заряды и напряжения должны соответствовать закону сохранения заряда и соотношению напряжений при последовательном согласном включении. Получаем систему двух уравнений. Если бы конденсатор С2 был включен встречно (по полярности), то знаки и q2, и U2 изменились бы на противоположные. 1 U U q q 2 1    2  E  q 0  q q 1 2 C C 1 q q 1  2 2  E  q 0 q C 1 2  (q 1  q C EC C 0 2)  1 1          Находим заряды конденсаторов. q 1  q 2  EС С q C 1 0 EС С U C U C C 2 02 1 2   EС С q C 2 0 EС С U C U C C 2 01 2  1  1 2  C C 2  1 2  C C 2 1 1 1  2  01  2 1 C C 2 2 01  C C q p , то есть 0 1 1 2 1  q p или 0 Из соотношений ясно, что возможны ситуации, когда конденсаторы в результате переходного процесса могут перезарядиться на противоположные полярности. Работа источника тока (для положительного полюса) : истAЕ q   2 1 2   q 2 q 2  q 02  Можно показать, что EC C U C U C C 1 01 1 2   2 02 2  C C 1    q q 2 1 2 2  U C 2 02  EC C U C C U C C 1 01 1 2   02 2 C C 1 1  2 2 Энергия конденсаторов для начального состояния: W W W н 1 н   н  2 2 01 С U 1 2  2 02 С U 2 2 Для конечного состояния: W k  2 q 2 2 C 2  2 q 1 2 C 1  2 C U об 2 об Следует отметить, что W k  , так как при ненулевых начальных условиях общий заряд неравен зарядам последовательно соединенных конденсаторов. Определим значение выделившейся теплоты при следующих численных значениях: C1=c, С2=3с, E= 8 в, U01 =4 в, U02 =2 в. q 0 q 1   q  4 8       2 3 2 c c c     3 2 c 11 c c c     3 c 2 c      4 c 3 3 c c c 4 c 14    2 c  3 c q 2 8 c   8 c   3 c 4 c  c 2 3 c   15 2 c 3 2 c Wс н W k  2 с   16 2 11 (2   8 1,5 c   c)  3 4 с 2  2 c  12 c  A ист Q W W Aс ист н к Задача 5. 15 c (2 2)  2 3 c  121 c 8  75 c 8  24,5 c  14  c 24,5 c  12 c  1,5 2 1    E U U , поэтому заряды ни от источника, ни к источнику не потекут Решение. 1. Теплота выделяется только в том случае, когда происходит перераспределение зарядов, т.е. течет ток. При размыкании ключа это может произойти только от источника тока. Разность потенциалов между точками А и В при этом не изменяется так как АВU (заряды могут перетекать, если потенциал положительного полюса источника тока неравен потенциалу т.В, а потенциал отрицательного полюса источника неравен потенциалу т.А). Значит, заряды конденсаторов не изменятся, работа источника тока равна нулю, поэтому теплота при размыкании ключа выделяться не будет. 2. Неизменность зарядов конденсаторов можно доказать, используя закон сохранения заряда для средней точки схемы.  Для начального состояния:     2 q 1 н q 23 C он q он  С С С) 1 3  С С С 1 3 ( 2 EC 1   C C C 3 1 2 2)  (EС С С 3 1   С С С 1 3 EC C 3    C C C 3 1 1 2 2 q 23  (C C U    U ) 23 23 2 3   q 3 н C U 3 23 Так как при размыкании ключа отключается левая пластина конденсатора С3 от средней точки, то с ней уходит и ее отрицательный заряд q3н. Поэтому по закону сохранения заряда для средней точки получим: q 1  q 2  q 3 н  1 EC C 3   C C C 3 1 2 Решая это уравнение совместно с уравнением для напряжений при последовательном соединении U U  1 2    E q q 2 1 C C 1 2  E , можно определить q1 и q2 ­ установившиеся после переходного процесса заряды конденсаторов. Получим q 1 )  EС С С 3  С С С 1 3 (1  2 2 , значение которого равно q1н, что означает, что перераспределения зарядов при размыкании ключа происходить не будет.

Закон сохранения энергии утверждает, что энергия тела никогда не исчезает и не появляется вновь, она может лишь превращаться из одного вида в другой. Этот закон универсален. В различных разделах физики он имеет свою формулировку. Классическая механика рассматривает закон сохранения механической энергии.

Полная механическая энергия замкнутой системы физических тел, между которыми действуют консервативные силы, является величиной постоянной. Так формулируется закон сохранения энергии в механике Ньютона.

Замкнутой, или изолированной, принято считать физическую систему, на которую не действуют внешние силы. В ней не происходит обмена энергией с окружающим пространством, и собственная энергия, которой она обладает, остаётся неизменной, то есть сохраняется. В такой системе действуют только внутренние силы, и тела взаимодействуют друг с другом. В ней могут происходить лишь превращения потенциальной энергии в кинетическую и наоборот.

Простейший пример замкнутой системы – снайперская винтовка и пуля.

Виды механических сил

Силы, которые действуют внутри механической системы, принято разделять на консервативные и неконсервативные.

Консервативными считаются силы, работа которых не зависит от траектории движения тела, к которому они приложены, а определяется только начальным и конечным положением этого тела. Консервативные силы называют также потенциальными . Работа таких сил по замкнутому контуру равна нулю. Примеры консервативных сил – сила тяжести, сила упругости .

Все остальные силы называются неконсервативными . К ним относятся сила трения и сила сопротивления . Их называют также диссипативными силами. Эти силы при любых движениях в замкнутой механической системе совершают отрицательную работу, и при их действии полная механическая энергия системы убывает (диссипирует). Она переходит в другие, не механические виды энергии, например, в теплоту. Поэтому закон сохранения энергии в замкнутой механической системе может выполняться, только если неконсервативные силы в ней отсутствуют.

Полная энергия механической системы состоит из кинетической и потенциальной энергии и является их суммой. Эти виды энергий могут превращаться друг в друга.

Потенциальная энергия

Потенциальную энергию называют энергией взаимодействия физических тел или их частей между собой. Она определяется их взаимным расположением, то есть, расстоянием между ними, и равна работе, которую нужно совершить, чтобы переместить тело из точки отсчёта в другую точку в поле действия консервативных сил.

Потенциальную энергию имеет любое неподвижное физическое тело, поднятое на какую-то высоту, так как на него действует сила тяжести, являющаяся консервативной силой. Такой энергией обладает вода на краю водопада, санки на вершине горы.

Откуда же эта энергия появилась? Пока физическое тело поднимали на высоту, совершили работу и затратили энергию. Вот эта энергия и запаслась в поднятом теле. И теперь эта энергия готова для совершения работы.

Величина потенциальной энергии тела определяется высотой, на которой находится тело относительно какого-то начального уровня. За точку отсчёту мы можем принять любую выбранную нами точку.

Если рассматривать положение тела относительно Земли, то потенциальная энергия тела на поверхности Земли равна нулю. А на высоте h она вычисляется по формуле:

Е п = m ɡ h ,

где m – масса тела

ɡ - ускорение свободного падения

h – высота центра масс тела относительно Земли

ɡ = 9,8 м/с 2

При падении тела c высоты h 1 до высоты h 2 сила тяжести совершает работу. Эта работа равна изменению потенциальной энергии и имеет отрицательное значение, так как величина потенциальной энергии при падении тела уменьшается.

A = - ( E п2 – E п1) = - ∆ E п ,

где E п1 – потенциальная энергия тела на высоте h 1 ,

E п2 - потенциальная энергия тела на высоте h 2 .

Если же тело поднимают на какую-то высоту, то совершают работу против сил тяжести. В этом случае она имеет положительное значение. А величина потенциальной энергии тела увеличивается.

Потенциальной энергией обладает и упруго деформированное тело (сжатая или растянутая пружина). Её величина зависит от жёсткости пружины и от того, на какую длину её сжали или растянули, и определяется по формуле:

Е п = k·(∆x) 2 /2 ,

где k – коэффициент жёсткости,

∆x – удлинение или сжатие тела.

Потенциальная энергии пружины может совершать работу.

Кинетическая энергия

В переводе с греческого «кинема» означает «движение». Энергия, которой физическое тело получает вследствие своего движения, называется кинетической. Её величина зависит от скорости движения.

Катящийся по полю футбольный мяч, скатившиеся с горы и продолжающие двигаться санки, выпущенная из лука стрела – все они обладают кинетической энергией.

Если тело находится в состоянии покоя, его кинетическая энергия равна нулю. Как только на тело подействует сила или несколько сил, оно начнёт двигаться. А раз тело движется, то действующая на него сила совершает работу. Работа силы, под воздействием которой тело из состояния покоя перейдёт в движение и изменит свою скорость от нуля до ν , называется кинетической энергией тела массой m .

Если же в начальный момент времени тело уже находилось в движении, и его скорость имела значение ν 1 , а в конечный момент она равнялась ν 2 , то работа, совершённая силой или силами, действующими на тело, будет равна приращению кинетической энергии тела.

∆ E k = E k 2 - E k 1

Если направление силы совпадает с направлением движения, то совершается положительная работа, и кинетическая энергия тела возрастает. А если сила направлена в сторону, противоположную направлению движения, то совершается отрицательная работа, и тело отдаёт кинетическую энергию.

Закон сохранения механической энергии

Е k 1 + Е п1 = Е k 2 + Е п2

Любое физическое тело, находящееся на какой-то высоте, имеет потенциальную энергию. Но при падении оно эту энергию начинает терять. Куда же она девается? Оказывается, она никуда не исчезает, а превращается в кинетическую энергию этого же тела.

Предположим, на какой-то высоте неподвижно закреплён груз. Его потенциальная энергия в этой точке равна максимальному значению. Если мы отпустим его, он начнёт падать с определённой скоростью. Следовательно, начнёт приобретать кинетическую энергию. Но одновременно начнёт уменьшаться его потенциальная энергия. В точке падения кинетическая энергия тела достигнет максимума, а потенциальная уменьшится до нуля.

Потенциальная энергия мяча, брошенного с высоты, уменьшается, а кинетическая энергия возрастает. Санки, находящиеся в состоянии покоя на вершине горы, обладают потенциальной энергией. Их кинетическая энергия в этот момент равна нулю. Но когда они начнут катиться вниз, кинетическая энергия будет увеличиваться, а потенциальная уменьшаться на такую же величину. А сумма их значений останется неизменной. Потенциальная энергия яблока, висящего на дереве, при падении превращается в его кинетическую энергию.

Эти примеры наглядно подтверждают закон сохранения энергии, который говорит о том, что полная энергия механической системы является величиной постоянной . Величина полной энергии системы не меняется, а потенциальная энергия переходит в кинетическую и наоборот.

На какую величину уменьшится потенциальная энергия, на такую же увеличится кинетическая. Их сумма не изменится.

Для замкнутой системы физических тел справедливо равенство
E k1 + E п1 = E k2 + E п2 ,
где E k1 , E п1 - кинетическая и потенциальная энергии системы до какого-либо взаимодействия, E k2 , E п2 - соответствующие энергии после него.

Процесс преобразования кинетической энергии в потенциальную и наоборот можно увидеть, наблюдая за раскачивающимся маятником.

Нажать на картинку

Находясь в крайне правом положении, маятник словно замирает. В этот момент его высота над точкой отсчёта максимальна. Следовательно, максимальна и потенциальная энергия. А кинетическая равна нулю, так как он не движется. Но в следующее мгновение маятник начинает движение вниз. Возрастает его скорость, а, значит, увеличивается кинетическая энергия. Но уменьшается высота, уменьшается и потенциальная энергия. В нижней точке она станет равной нулю, а кинетическая энергия достигнет максимального значения. Маятник пролетит эту точку и начнёт подниматься вверх налево. Начнёт увеличиваться его потенциальная энергия, а кинетическая будет уменьшаться. И т.д.

Для демонстрации превращений энергии Исаак Ньютон придумал механическую систему, которую называют колыбелью Ньютона или шарами Ньютона .

Нажать на картинку

Если отклонить в сторону, а затем отпустить первый шар, то его энергия и импульс передадутся последнему через три промежуточных шара, которые останутся неподвижными. А последний шар отклонится с такой же скоростью и поднимется на такую же высоту, что и первый. Затем последний шар передаст свою энергию и импульс через промежуточные шары первому и т. д.

Шар, отведенный в сторону, обладает максимальной потенциальной энергией. Его кинетическая энергия в этот момент нулевая. Начав движение, он теряет потенциальную энергию и приобретает кинетическую, которая в момент столкновения со вторым шаром достигает максимума, а потенциальная становится равной нулю. Далее кинетическая энергия передаётся второму, затем третьему, четвёртому и пятому шарам. Последний, получив кинетическую энергию, начинает двигаться и поднимается на такую же высоту, на которой находился первый шар в начале движения. Его кинетическая энергия в этот момент равна нулю, а потенциальная равна максимальному значению. Далее он начинает падать и точно так же передаёт энергию шарам в обратной последовательности.

Так продолжается довольно долго и могло бы продолжаться до бесконечности, если бы не существовало неконсервативных сил. Но в реальности в системе действуют диссипативные силы, под действием которых шары теряют свою энергию. Постепенно уменьшается их скорость и амплитуда. И, в конце концов, они останавливаются. Это подтверждает, что закон сохранения энергии выполняется только в отсутствии неконсервативных сил.

Рассмотрим системы из двух проводников в вакууме. Один проводние создает поле , другой. Результирующее поле
, квадрат этой величины. Полная энергия этой системы
. Первые два интеграла – это собственные знергии проводников, а последний = потенциальная энергия их взаимодействия. Собственная энергия заряженного тела – всегда величина положительная, положительной является и полная энергия. Энергия же взаимодействия может быть как положительной, так и отрицательной. При всех возможных перемещениях заряженных тел, не изменяющих конфигурацию зарядов на каждом теле, собственная энергия остается постоянной, поэтому ее можно считать аддитивной постоянной в выражении для полной энергии. В этих случаях изменение полной энергии происходит только за счет изменения потенциальной энергии взаимодействия.

1.4.6. Закон сохранения энергии для электрического поля в несегнетоэлектрической среде

Энергия электрического поля, создаваемого какой-либо системой заряженных тел (проводников, диэлектриков), изменяется, если тела системы перемещаются (то есть меняется взаимное положение тел), или, если изменяются их заряды. При этом совершают работу внешние силы, приложенные к телам системы, и источники электрической энергии (батареи, генераторы, и тому подобные), присоединенные к проводникам системы.

Закон сохранения энергии для малого изменения состояния системы при постоянной температуре и постоянной плотности среды имеет вид:

Здесь:
- работа внешних сил;
- работа источников электрической энергии;
- изменение энергии электростатического поля системы;
- изменение кинетической энергии системы;
- теплота Джоуля - Ленца, которая вызвана прохождением электрических токов в системе при изменении или перераспределении зарядов проводников.

Если перемещение тел производится квазистатически, то есть очень медленно, то можно пренебречь изменением кинетической энергии системы,
, и считать работу внешних сил
численно равной и противоположной по знаку работе
, совершаемой в рассматриваемом процессе силами, которые действуют на тела системы в электрическом поле и называются пондемоторными силами. В этом случае закон сохранения энергии можно записать в виде:.

Работа источников электрической энергии за малый промежуток времени
равна:
, где
- общее число источников электрической энергии в рассматриваемой системе;- ЭДС-того источника,
- заряд, проходящий через этот источник за время
,
- ток в источнике, работа
, если токидет от катода к аноду.

Если заряд каждого проводника не изменяется и не перераспределяется , то выражение закона сохранения энергии для квазистатического изменения состояния системы имеет вид:
,

то есть в этом процессе работа пондемоторных сил равна убыли энергии электрического поля системы. С помощью этого выражения можно рассчитывать работу пондемоторных сил.

Найдем силы, действующие на пластины заряженного плоского конденсатора. Расстояние между пластинами
, где- площадь пластины. Конденсатор заряжен и отключен от источника питания, так что заряд конденсатора
,
- поверхностная плотность заряда. При увеличении расстояния сила, приложенная к перемещаемой пластине, совершает работу
. Изменение энергии электростатического поля в конденсаторе
, где- объемная плотность энергии в прилегающем к пластине слое толщиной
. Таким образом, из закона сохранения энергии следует, что пондемоторная сила равна
.