Սահմանափակ գծերով թվեր: Ինտեգրալի միջոցով հարթ թվերի մակերեսների հաշվարկ

Այս դասում մենք կսովորենք հաշվարկել հարթության գործիչների տարածքներըորոնք կոչվում են կորագիծ trapezoids .

Նման թվերի օրինակները ներկայացված են ստորև բերված նկարում:

Մի կողմից, որոշակի ինտեգրալի միջոցով հարթ գործչի տարածքը գտնելը չափազանց պարզ է: Խոսքը գործչի տարածքի մասին է, որը վերևից սահմանափակվում է որոշակի կորով, ներքևից՝ աբսցիսայի առանցքով ( Եզ), իսկ ձախ և աջ կողմում կան մի քանի ուղիղ գծեր։ Պարզությունն այն է ֆունկցիայի որոշակի ինտեգրալը, որին տրված է կորը, նման գործչի մակերեսն է(կորագիծ trapezoid):

Նկարի մակերեսը հաշվարկելու համար մեզ անհրաժեշտ է.

1. Կորը սահմանող ֆունկցիայի որոշակի ինտեգրալ , որը վերևից սահմանափակում է կոր trapezoid-ը։ Եվ այստեղ առաջանում է առաջին նշանակալի նրբերանգը. կոր trapezoid-ը կարող է սահմանափակվել կորով ոչ միայն վերևից, այլև ներքևից . Ինչպե՞ս վարվել այս դեպքում: Պարզ, բայց կարևոր է հիշել. ինտեգրալն այս դեպքում վերցված է մինուս նշանով .
2. Ինտեգրման սահմանները աԵվ բ, որը մենք գտնում ենք ձախ և աջ պատկերը սահմանող ուղիղների հավասարումներից. x = ա , x = բ, Որտեղ աԵվ բ- թվեր.

Առանձին, ևս մի քանի նրբերանգների մասին.

Վերևում (կամ ներքևում) կոր trapezoid-ը սահմանող կորը պետք է լինի Շարունակական և ոչ բացասական ֆունկցիայի գրաֆիկ y = զ(x) .

«x» արժեքները պետք է պատկանեն հատվածին [ա, բ] . Այսինքն՝ հաշվի չեն առնվում այնպիսի գծեր, ինչպիսին է սնկի կտրվածքը, որի ցողունը լավ տեղավորվում է այս հատվածում, իսկ գլխարկը շատ ավելի լայն է։

Կողային հատվածները կարող են վերածվել կետերի . Եթե ​​գծագրում տեսնում եք նման պատկեր, դա չպետք է ձեզ շփոթեցնի, քանի որ այս կետը միշտ իր արժեքը ունի «x» առանցքի վրա: Սա նշանակում է, որ ինտեգրման սահմաններում ամեն ինչ կարգին է։

Այժմ կարող եք անցնել բանաձևերին և հաշվարկներին: Այսպիսով, տարածքը սկոր trapezoid կարելի է հաշվարկել օգտագործելով բանաձեւը

Եթե զ(x) ≤ 0 (ֆունկցիայի գրաֆիկը գտնվում է առանցքի տակ Եզ), դա կոր trapezoid-ի տարածքըկարելի է հաշվարկել բանաձևով

Լինում են նաև դեպքեր, երբ գործչի և՛ վերին, և՛ ստորին սահմանները համապատասխանաբար ֆունկցիաներ են y = զ(x) Եվ y = φ (x) , ապա նման գործչի տարածքը հաշվարկվում է բանաձևով

. (3)

Խնդիրները միասին լուծելը

Սկսենք այն դեպքերից, երբ գործչի մակերեսը կարելի է հաշվարկել բանաձևով (1):

Օրինակ 1.Եզ) և ուղիղ x = 1 , x = 3 .

Լուծում. Որովհետև y = 1/x> 0 հատվածի վրա, այնուհետև կորագիծ տրապիզոնի տարածքը հայտնաբերվում է բանաձևով (1).

.

Օրինակ 2.Գտեք գործչի տարածքը, որը սահմանափակված է ֆունկցիայի գրաֆիկով, տողով x= 1 և x առանցք ( Եզ ).

Լուծում. Բանաձևի կիրառման արդյունքը (1).

Եթե ​​այդ ժամանակ ս= 1/2; եթե այն ժամանակ ս= 1/3 և այլն:

Օրինակ 3.Գտեք գործչի մակերեսը, որը սահմանափակված է ֆունկցիայի գրաֆիկով, աբսցիսայի առանցքով ( Եզ) և ուղիղ x = 4 .

Լուծում. Խնդրի պայմաններին համապատասխանող պատկերը կորագիծ տրապիզոիդ է, որի ձախ հատվածը վերածվել է կետի: Ինտեգրման սահմանները 0 և 4 են: Քանի որ, օգտագործելով (1) բանաձևը, մենք գտնում ենք կորագիծ տրապիզոնի տարածքը.

.

Օրինակ 4.Գտե՛ք գծերով սահմանափակված և 1-ին քառորդում գտնվող գործչի մակերեսը:

Լուծում. (1) բանաձևն օգտագործելու համար եկեք պատկերացնենք օրինակի պայմաններով տրված նկարի մակերեսը որպես եռանկյան մակերեսների գումար. ՕԱԲեւ կոր trapezoid ABC. Եռանկյան մակերեսը հաշվարկելիս ՕԱԲինտեգրման սահմանները կետերի աբսցիսներն են ՕԵվ Ա, և գործչի համար ABC- կետերի աբսցիսներ ԱԵվ Գ (Ագծի հատման կետն է Օ.Ա.և պարաբոլաներ, և Գ- պարաբոլայի առանցքի հետ հատման կետը Եզ) Միասնաբար (որպես համակարգ) լուծելով ուղիղ գծի և պարաբոլայի հավասարումները՝ ստանում ենք (կետի աբսցիսա. Ա) և (ուղիների և պարաբոլայի հատման մեկ այլ կետի աբսցիսա, որը լուծման համար անհրաժեշտ չէ): Նմանապես մենք ստանում ենք , (կետերի աբսցիսա ԳԵվ Դ) Այժմ մենք ունենք այն ամենը, ինչ անհրաժեշտ է գործչի մակերեսը գտնելու համար: Մենք գտնում ենք.

Օրինակ 5.Գտեք կոր trapezoid-ի մակերեսը ACDB, եթե կորի հավասարումը CDեւ abscissas ԱԵվ Բ 1 և 2 համապատասխանաբար:

Լուծում. Եկեք խաղի միջոցով արտահայտենք կորի այս հավասարումը. Կորագիծ տրապիզոնի մակերեսը գտնում ենք բանաձևով (1).

.

Եկեք անցնենք այն դեպքերին, երբ գործչի տարածքը կարելի է հաշվարկել բանաձևով (2):

Օրինակ 6.Գտե՛ք պարաբոլով և x առանցքով սահմանափակված պատկերի մակերեսը ( Եզ ).

Լուծում. Այս ցուցանիշը գտնվում է x առանցքի տակ: Հետևաբար, դրա տարածքը հաշվարկելու համար մենք կօգտագործենք բանաձևը (2): Ինտեգրման սահմաններն են աբսցիսան և պարաբոլայի առանցքի հետ հատման կետերը Եզ. Հետևաբար,

Օրինակ 7.Գտեք աբսցիսայի առանցքի միջև պարփակված տարածքը ( Եզ) և երկու հարակից սինուսային ալիքներ:

Լուծում. Այս գործչի տարածքը կարելի է գտնել բանաձևով (2).

.

Գտնենք յուրաքանչյուր տերմին առանձին.

.

.

Վերջապես մենք գտնում ենք տարածքը.

.

Օրինակ 8.Գտեք պարաբոլայի և կորի միջև պարփակված գործչի տարածքը:

Լուծում. Եկեք խաղի միջոցով արտահայտենք տողերի հավասարումները.

Տարածքը ըստ (2) բանաձևի ստացվում է որպես

,

Որտեղ աԵվ բ- կետերի աբսցիսներ ԱԵվ Բ. Գտնենք դրանք՝ միասին լուծելով հավասարումները.

Վերջապես մենք գտնում ենք տարածքը.

Եվ վերջապես, դեպքեր, երբ գործչի տարածքը կարելի է հաշվարկել բանաձևով (3):

Օրինակ 9.Գտեք պարաբոլների միջև պարփակված գործչի մակերեսը Եվ .

Սա դպրոցական խնդիր է, բայց չնայած այն հանգամանքին, որ դրա գրեթե 100%-ը կգտնվի քո բարձրագույն մաթեմատիկայի դասընթացում: Ահա թե ինչու ամենայն լրջությամբեկեք դիտենք ԲՈԼՈՐ օրինակները, և առաջին բանը, որ պետք է անել, ծանոթանալն է Դիմում Ֆունկցիայի գրաֆիկներ խորացնել տարրական գրաֆիկների կառուցման տեխնիկան: …Ուտե՞լ: Հիանալի Տիպիկ առաջադրանքի հայտարարությունը հնչում է այսպես.

Օրինակ 10
.

ԵՎ առաջին ամենակարևոր փուլը լուծումներբաղկացած է հենց գծանկարի կառուցում. Այնուամենայնիվ, ես խորհուրդ եմ տալիս հետևյալ կարգը. սկզբումավելի լավ է ամեն ինչ կառուցել ուղիղ(եթե դրանք կան) և միայն Հետո – պարաբոլաներ, հիպերբոլիաներ, այլ ֆունկցիաների գրաֆիկներ։

Մեր առաջադրանքում. ուղիղսահմանում է առանցքը, ուղիղառանցքին զուգահեռ և պարաբոլասիմետրիկ է առանցքի նկատմամբ, դրա համար մենք գտնում ենք մի քանի հղման կետեր.

Ցանկալի գործիչը ցանկալի է հանել.

Երկրորդ փուլէ ճիշտ շարադրելԵվ ճիշտ հաշվարկելորոշակի ինտեգրալ. Հատվածի վրա տեղադրված է ֆունկցիայի գրաֆիկը առանցքից վեր, ուստի պահանջվող տարածքն է.

Պատասխանել:

Առաջադրանքն ավարտելուց հետո օգտակար է նայել գծագրությանը
և պարզեք, թե արդյոք պատասխանն իրատեսական է:

Եվ մենք «աչքով» հաշվում ենք ստվերավորված բջիջների քանակը. լավ, կլինի մոտ 9, կարծես թե ճիշտ է: Միանգամայն պարզ է, որ եթե մենք ավարտեցինք, ասենք, 20 քառակուսի միավոր, ապա ակնհայտորեն ինչ-որ տեղ սխալ է թույլ տրվել՝ կառուցված ֆիգուրը ակնհայտորեն չի տեղավորվում 20 բջիջ, առավելագույնը մեկ տասնյակ: Եթե ​​պատասխանը բացասական է, ապա առաջադրանքը նույնպես սխալ է լուծվել։

Օրինակ 11
Հաշվե՛ք գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը և առանցք

Եկեք արագ տաքանանք (պահանջվում է) և դիտարկենք «հայելային» իրավիճակը, երբ գտնվում է կոր trapezoid-ը: առանցքի տակ.

Օրինակ 12
Հաշվեք գծերի և կոորդինատային առանցքներով սահմանափակված նկարի տարածքը:

Լուծումեկեք գտնենք մի քանի հղման կետեր էքսպոնենցիալը կառուցելու համար.

և լրացրեք գծագիրը՝ ստանալով մոտ երկու բջիջ մակերեսով պատկեր.

Եթե ​​գտնվում է կոր trapezoid ոչ ավելի բարձրառանցքը, ապա դրա տարածքը կարելի է գտնել բանաձևով.
Այս դեպքում.

Պատասխանել- Դե, դա շատ, շատ նման է ճշմարտությանը:

Գործնականում, ամենից հաճախ գործիչը գտնվում է ինչպես վերին, այնպես էլ ստորին կիսահարթությունում, և, հետևաբար, մենք ամենապարզ դպրոցական խնդիրներից անցնում ենք ավելի իմաստալից օրինակների.

Օրինակ 13
Գտե՛ք հարթ պատկերի մակերեսը, որը սահմանափակված է գծերով, .

ԼուծումՍկզբում մենք պետք է ավարտենք գծագիրը, և մեզ հատկապես հետաքրքրում են պարաբոլայի և ուղիղ գծի հատման կետերը, քանի որ այստեղ կլինի. ինտեգրման սահմանները. Դրանք գտնելու երկու եղանակ կա. Առաջին մեթոդը վերլուծական է: Եկեք ստեղծենք և լուծենք հավասարումը.

Այսպիսով.

Արժանապատվությունվերլուծական մեթոդը բաղկացած է իր ճշգրտություն, Ա թերություն-Վ տեւողությունը(և այս օրինակում մենք նույնիսկ բախտավոր էինք): Հետևաբար, շատ խնդիրներում ավելի ձեռնտու է կետ առ կետ գծեր կառուցել, և ինտեգրման սահմանները պարզ են դառնում «ինքնուրույն»։

Ամեն ինչ պարզ է ուղիղ գծով, բայց պարաբոլա կառուցելու համար հարմար է գտնել դրա գագաթը, մենք վերցնում ենք ածանցյալը և հավասարեցնում այն ​​զրոյի.
- հենց այս կետում է գտնվելու գագաթը: Եվ պարաբոլայի համաչափության շնորհիվ մենք կգտնենք մնացած հղման կետերը՝ օգտագործելով «ձախ-աջ» սկզբունքը.

Եկեք նկարենք.

Եվ հիմա աշխատանքային բանաձևը.եթե հատվածում կա մի քանիսը շարունակականֆունկցիան ավելի մեծ կամ հավասար շարունակականգործառույթները, ապա այս ֆունկցիաների և գծերի հատվածների գրաֆիկներով սահմանափակված գործչի տարածքը կարելի է գտնել բանաձևով.

Այստեղ այլևս պետք չէ մտածել այն մասին, թե որտեղ է գտնվում գործիչը՝ առանցքի վերևում, թե առանցքի տակ, այլ, կոպիտ ասած. կարևորն այն է, թե երկու գրաֆիկներից որն է ավելի բարձր.

Մեր օրինակում ակնհայտ է, որ հատվածի վրա պարաբոլան գտնվում է ուղիղ գծի վերևում, և, հետևաբար, անհրաժեշտ է հանել

Ավարտված լուծումը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.

Սեգմենտի վրա՝ , ըստ համապատասխան բանաձեւի.

Պատասխանել:

Հարկ է նշել, որ պարբերության սկզբում քննարկված պարզ բանաձեւերը բանաձեւի հատուկ դեպքեր են . Քանի որ առանցքը տրված է հավասարմամբ, ֆունկցիաներից մեկը կլինի զրո, և կախված նրանից, թե կորագիծ տրապիզը գտնվում է վերևում կամ ներքևում, մենք ստանում ենք բանաձևը.

Իսկ հիմա զույգ բնորոշ առաջադրանքներանկախ որոշման համար

Օրինակ 14
Գտե՛ք տողերով սահմանափակված թվերի մակերեսը.

Գրքի վերջում գծագրերով և կարճ մեկնաբանություններով լուծում

Քննարկվող խնդիրը լուծելու ընթացքում երբեմն զավեշտալի դեպք է պատահում. Գծագիրը ճիշտ է ավարտվել, ինտեգրալը ճիշտ է լուծվել, բայց անզգուշության պատճառով... հայտնաբերվել է սխալ գործչի տարածքը, հենց այսպես մի քանի անգամ սխալվեց ձեր խոնարհ ծառան։ Այստեղ իրական դեպքկյանքից:

Օրինակ 15
Հաշվե՛ք գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը

Լուծումեկեք մի պարզ նկարչություն անենք,

որի հնարքն այն է անհրաժեշտ տարածքը ստվերված է կանաչով(Ուշադիր նայեք պայմանին. ինչպես է գործիչը սահմանափակվում): Բայց գործնականում, անուշադրության պատճառով, հաճախ տեղի է ունենում «խափանում», որ դուք պետք է գտնեք գործչի տարածքը, որը ստվերված է մոխրագույնով: Հատուկ հնարքն այն է, որ ուղիղ գիծը կարող է փոքր-ինչ գծվել դեպի առանցքը, և այդ դեպքում մենք ընդհանրապես չենք տեսնի ցանկալի պատկերը:

Այս օրինակը նաև օգտակար է, քանի որ այն հաշվարկում է գործչի տարածքը` օգտագործելով երկու որոշակի ինտեգրալներ: Իրոք.

1) առանցքի վերևում գտնվող հատվածի վրա կա ուղիղ գծի գրաֆիկ.
2) առանցքի վերևում գտնվող հատվածի վրա կա հիպերբոլայի գրաֆիկ:

Միանգամայն պարզ է, որ տարածքները կարող են (և պետք է) ավելացվեն.

Պատասխանել:

Եվ կրթական օրինակ, որպեսզի դուք ինքներդ որոշեք.

Օրինակ 16
Հաշվեք նկարի մակերեսը, որը սահմանափակված է գծերով, կոորդինատային առանցքներով:

Այսպիսով, եկեք համակարգենք այս առաջադրանքի կարևոր կետերը.

Առաջին քայլինՄԵՆՔ ՈՒՇԱԴՐՈՒԹՅԱՄԲ ուսումնասիրում ենք պայմանը - Ի՞ՆՉ գործառույթներ են մեզ տրված։ Սխալներ նույնիսկ այստեղ են լինում, մասնավորապես՝ տապան ընկշոշափողը հաճախ սխալվում է արկտանգենսի հետ: Սա, ի դեպ, վերաբերում է նաև այլ առաջադրանքներին, որտեղ առաջանում է աղեղային կոտանգենս:

Հաջորդըգծագիրը պետք է ճիշտ լրացվի։ Ավելի լավ է նախ կառուցել ուղիղ(եթե դրանք կան), ապա այլ ֆունկցիաների գրաֆիկներ (եթե դրանք կան J): Վերջիններս շատ դեպքերում ավելի շահավետ են կառուցել կետ առ կետ– գտնել մի քանի խարիսխի կետեր և զգուշորեն միացնել դրանք գծով:

Բայց այստեղ կարող են սպասել հետևյալ դժվարությունները. Նախ, դա միշտ չէ, որ պարզ է գծագրից ինտեգրման սահմանները- դա տեղի է ունենում, երբ դրանք կոտորակային են: mathprofi.ru կայքում համապատասխան հոդվածԵս պարաբոլայով և ուղիղ գծով օրինակ նայեցի, որտեղ նրանց հատման կետերից մեկը գծագրից պարզ չէ: Նման դեպքերում դուք պետք է օգտագործեք վերլուծական մեթոդը, մենք ստեղծում ենք հավասարումը.

և գտիր նրա արմատները.
– ինտեգրման ստորին սահմանը, – վերին սահմանը.

Նկարչությունն ավարտվելուց հետո, մենք վերլուծում ենք ստացված ցուցանիշը. ևս մեկ անգամ մենք նայում ենք առաջարկվող գործառույթներին և կրկնակի ստուգում, թե արդյոք սա ճիշտ ցուցանիշ է: Այնուհետև մենք վերլուծում ենք դրա ձևն ու գտնվելու վայրը, պատահում է, որ տարածքը բավականին բարդ է, և այն պետք է բաժանվի երկու կամ նույնիսկ երեք մասի.

Կազմի՛ր որոշակի ինտեգրալկամ մի քանի ինտեգրալներ ըստ բանաձևի , մենք վերը քննարկել ենք բոլոր հիմնական տատանումները:

Որոշակի ինտեգրալի լուծում(ներ): Այնուամենայնիվ, այն կարող է բավականին բարդ լինել, և այնուհետև մենք օգտագործում ենք քայլ առ քայլ ալգորիթմ. 1) մենք գտնում ենք հակաածանցյալը և ստուգում ենք այն տարբերակման միջոցով, 2) Մենք օգտագործում ենք Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը.

Օգտակար է ստուգել արդյունքըծրագրային ապահովման միջոցով / առցանց ծառայություններկամ պարզապես «գնահատել» ըստ գծագրի՝ ըստ բջիջների։ Բայց երկուսն էլ միշտ չէ, որ իրագործելի են, ուստի մենք չափազանց ուշադիր ենք լուծման յուրաքանչյուր փուլի նկատմամբ:



Այս դասընթացի ամբողջական և վերջին տարբերակը pdf ձևաչափով,
ինչպես նաև այլ թեմաներով դասընթացներ կարելի է գտնել:

Դուք նույնպես կարող եք՝ պարզ, մատչելի, զվարճալի և անվճար:

ՀԵՏ բարեմաղթանքներով, Ալեքսանդր Էմելին

Որոշակի ինտեգրալ. Ինչպես հաշվարկել գործչի մակերեսը

Եկեք շարունակենք դիտարկել ինտեգրալ հաշվարկի կիրառությունները: Այս դասում մենք կվերլուծենք բնորոշ և ամենատարածված առաջադրանքը - ինչպես օգտագործել որոշակի ինտեգրալ՝ հարթ գործչի մակերեսը հաշվարկելու համար. Ի վերջո, նրանք, ովքեր իմաստ են փնտրում բարձրագույն մաթեմատիկայի մեջ, թող գտնեն այն: Դուք երբեք չգիտեք: Իրական կյանքում դուք ստիպված կլինեք մոտավոր տնակի հողամաս օգտագործելով տարրական գործառույթներ և գտնել դրա տարածքը որոշակի ինտեգրալով:

Նյութը հաջողությամբ տիրապետելու համար դուք պետք է.

1) Հասկացեք անորոշ ինտեգրալը առնվազն միջանկյալ մակարդակում: Այսպիսով, խաբեբաները նախ պետք է կարդան դասը Ոչ.

2) Կարողանալ կիրառել Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը և հաշվարկել որոշակի ինտեգրալը. Էջում կարող եք ջերմ ընկերական հարաբերություններ հաստատել որոշակի ինտեգրալների հետ Որոշակի ինտեգրալ. Լուծումների օրինակներ.

Փաստորեն, գործչի մակերեսը գտնելու համար անորոշ և որոշակի ինտեգրալի մասին այդքան մեծ գիտելիքներ պետք չեն: «Հաշվել տարածքը որոշակի ինտեգրալով» առաջադրանքը միշտ ներառում է գծանկարի կառուցում, ուստի ձեր գիտելիքներն ու նկարչական հմտությունները շատ ավելի հրատապ խնդիր կլինեն: Այս առումով, օգտակար է թարմացնել ձեր հիշողությունը հիմնական տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկների վերաբերյալ և, առնվազն, կարողանալ կառուցել ուղիղ գիծ, ​​պարաբոլա և հիպերբոլա: Դա կարելի է անել (շատերի համար դա անհրաժեշտ է) օգտագործելով մեթոդական նյութև գրաֆիկների երկրաչափական փոխակերպումների վերաբերյալ հոդվածներ։

Իրականում, տարածքը որոշակի ինտեգրալով գտնելու առաջադրանքին բոլորը ծանոթ են դեռ դպրոցական տարիներից, և մենք շատ հեռու չենք գնա: դպրոցական ծրագիր. Այս հոդվածը կարող էր ընդհանրապես գոյություն չունենալ, բայց փաստն այն է, որ խնդիրն առաջանում է 100-ից 99-ի դեպքում, երբ աշակերտը տառապում է ատելի դպրոցից և ոգևորությամբ տիրապետում է բարձրագույն մաթեմատիկայի դասընթացին։

Այս աշխատաժողովի նյութերը ներկայացված են պարզ, մանրամասն և նվազագույն տեսականությամբ։

Սկսենք կոր trapezoid-ից:

Curvilinear trapezoidհարթ պատկեր է, որը սահմանափակված է առանցքով, ուղիղ գծերով և շարունակական ֆունկցիայի գրաֆիկով, որը չի փոխում նշանը այս միջակայքում: Թող այս ցուցանիշը գտնվի ոչ ավելի ցածր x առանցք:

Հետո կորագիծ trapezoid-ի մակերեսը թվայինորեն հավասար է որոշակի ինտեգրալի. Ցանկացած որոշակի ինտեգրալ (որ գոյություն ունի) շատ լավ երկրաչափական նշանակություն ունի։ Դասարանում Որոշակի ինտեգրալ. Լուծումների օրինակներԵս ասացի, որ որոշակի ինտեգրալը թիվ է։ Եվ հիմա ժամանակն է նշել ևս մեկ օգտակար փաստ. Երկրաչափության տեսակետից որոշակի ինտեգրալը ՏԱՐԱԾՔ է.

Այսինքն՝ որոշակի ինտեգրալը (եթե այն գոյություն ունի) երկրաչափորեն համապատասխանում է որոշակի գործչի մակերեսին. Օրինակ, դիտարկենք որոշակի ինտեգրալը: Ինտեգրանդը առանցքի վերևում գտնվող հարթության վրա սահմանում է կոր (ցանկացողները կարող են նկարել), իսկ որոշակի ինտեգրալն ինքնին թվայինորեն հավասար է համապատասխան կորագիծ trapezoid-ի մակերեսին։

Օրինակ 1

Սա տիպիկ հանձնարարական հայտարարություն է: Նախ և ամենակարևոր պահըլուծումներ - նկարչություն. Ավելին, նկարը պետք է կառուցվի ՃԻՇՏ.

Գծանկար կառուցելիս խորհուրդ եմ տալիս հետևյալ կարգը. սկզբումավելի լավ է կառուցել բոլոր ուղիղ գծերը (եթե դրանք կան) և միայն Հետո– պարաբոլներ, հիպերբոլաներ, այլ ֆունկցիաների գրաֆիկներ: Ավելի շահավետ է ֆունկցիաների գրաֆիկներ կառուցելը կետ առ կետ, կետ առ կետ շինարարության տեխնիկան կարելի է գտնել հղման նյութում Տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկները և հատկությունները. Այնտեղ կարող եք գտնել նաև շատ օգտակար նյութ մեր դասի համար՝ ինչպես արագ կառուցել պարաբոլա։

Այս խնդրի լուծումը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.
Եկեք նկարենք գծագիրը (նկատենք, որ հավասարումը սահմանում է առանցքը).

Չեմ դուրս հանի կոր trapezoid, այստեղ ակնհայտ է, թե ինչ տարածք է մենք խոսում ենք. Լուծումը շարունակվում է այսպես.

Հատվածի վրա տեղադրված է ֆունկցիայի գրաֆիկը առանցքից վեր, Ահա թե ինչու.

Պատասխան.

Ով դժվարություններ ունի որոշակի ինտեգրալը հաշվարկելու և Նյուտոն-Լայբնից բանաձևի կիրառման հարցում , անդրադարձեք դասախոսությանը Որոշակի ինտեգրալ. Լուծումների օրինակներ.

Առաջադրանքն ավարտելուց հետո միշտ օգտակար է նայել գծագրին և պարզել, թե արդյոք պատասխանը իրական է: Այս դեպքում մենք «աչքով» հաշվում ենք գծագրի բջիջների քանակը. լավ, կլինի մոտ 9, ինչը, կարծես, ճիշտ է: Միանգամայն պարզ է, որ եթե ստացել ենք, ասենք, պատասխանը՝ 20 քառակուսի միավոր, ապա ակնհայտ է, որ ինչ-որ տեղ սխալ է թույլ տրվել՝ 20 բջիջ ակնհայտորեն չի տեղավորվում խնդրո առարկա գործչի մեջ, առավելագույնը մեկ տասնյակ։ Եթե ​​պատասխանը բացասական է, ապա առաջադրանքը նույնպես սխալ է լուծվել։

Օրինակ 2

Հաշվե՛ք գծերով, առանցքներով սահմանափակված գործչի մակերեսը

Սա ձեզ համար օրինակ է ինքնուրույն լուծելու համար։ Ամբողջական լուծում և պատասխան դասի վերջում։

Ինչ անել, եթե գտնվում է կոր trapezoid- ը առանցքի տակ?

Օրինակ 3

Հաշվեք գծերով և կոորդինատային առանցքներով սահմանափակված նկարի տարածքը:

Լուծում: Եկեք նկարենք.

Եթե ​​գտնվում է կոր trapezoid առանցքի տակ(կամ գոնե ոչ ավելի բարձրտրված առանցքը), ապա դրա տարածքը կարելի է գտնել՝ օգտագործելով բանաձևը.
Այս դեպքում.

Ուշադրություն. Երկու տեսակի առաջադրանքները չպետք է շփոթել:

1) Եթե ձեզ խնդրեն լուծել ուղղակի որոշակի ինտեգրալ առանց որևէ երկրաչափական նշանակության, ապա այն կարող է բացասական լինել:

2) Եթե ձեզ խնդրեն գտնել գործչի մակերեսը՝ օգտագործելով որոշակի ինտեգրալ, ապա տարածքը միշտ դրական է: Այդ իսկ պատճառով մինուսը հայտնվում է հենց նոր քննարկված բանաձեւում։

Գործնականում ամենից հաճախ գործիչը գտնվում է և՛ վերին, և՛ ստորին կիսակառույցում, և, հետևաբար, դպրոցական ամենապարզ խնդիրներից մենք անցնում ենք ավելի բովանդակալից օրինակների:

Օրինակ 4

Գտե՛ք հարթ պատկերի մակերեսը, որը սահմանափակված է գծերով, .

ԼուծումՍկզբում պետք է լրացնել նկարը: Ընդհանուր առմամբ, տարածքի խնդիրների մեջ գծագիր կառուցելիս մեզ ամենաշատը հետաքրքրում են գծերի հատման կետերը: Գտնենք պարաբոլայի և ուղիղ գծի հատման կետերը։ Դա կարելի է անել երկու եղանակով. Առաջին մեթոդը վերլուծական է: Մենք լուծում ենք հավասարումը.

Սա նշանակում է, որ ինտեգրման ստորին սահմանն է, ինտեգրման վերին սահմանը:
Հնարավորության դեպքում ավելի լավ է չօգտագործել այս մեթոդը։.

Կետ առ կետ գծեր կառուցելը շատ ավելի շահավետ և արագ է, և ինտեգրման սահմանները պարզ են դառնում «ինքնին»։ Օգնության մեջ մանրամասն քննարկվում է տարբեր գրաֆիկների կետ առ կետ կառուցման տեխնիկան Տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկները և հատկությունները. Այնուամենայնիվ, սահմանները գտնելու վերլուծական մեթոդը դեռ երբեմն պետք է օգտագործվի, եթե, օրինակ, գրաֆիկը բավականաչափ մեծ է, կամ մանրամասն կառուցվածքը չի բացահայտում ինտեգրման սահմանները (դրանք կարող են լինել կոտորակային կամ իռացիոնալ): Եվ մենք կքննարկենք նաև նման օրինակ.

Վերադառնանք մեր առաջադրանքին. ավելի ռացիոնալ է նախ կառուցել ուղիղ գիծ, ​​ապա միայն պարաբոլա: Եկեք նկարենք.

Կրկնում եմ, որ կետային կառուցման ժամանակ ամենից հաճախ «ավտոմատ» են պարզվում ինտեգրման սահմանները։

Իսկ հիմա աշխատանքային բանաձեւըԵթե ​​սեգմենտի վրա ինչ-որ շարունակական ֆունկցիա կա ավելի մեծ կամ հավասարորոշ շարունակական ֆունկցիա, այնուհետև այս ֆունկցիաների գրաֆիկներով և գծերով սահմանափակված գործչի տարածքը կարելի է գտնել բանաձևով.

Այստեղ այլևս կարիք չկա մտածել այն մասին, թե որտեղ է գտնվում գործիչը՝ առանցքի վերևում, թե առանցքի տակ, և, կոպիտ ասած, կարևոր է, թե որ գրաֆիկն է ավելի բարձր(այլ գրաֆիկի համեմատ), իսկ ո՞րն է ՍՏՈՐԵՎ.

Քննարկվող օրինակում ակնհայտ է, որ հատվածի վրա պարաբոլան գտնվում է ուղիղ գծի վերևում, և, հետևաբար, անհրաժեշտ է հանել

Ավարտված լուծումը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.

Ցանկալի ցուցանիշը սահմանափակվում է վերևում գտնվող պարաբոլայով և ներքևում ուղիղ գծով:
Սեգմենտի վրա, ըստ համապատասխան բանաձևի.

Պատասխան.

Փաստորեն, ներքևի կես հարթության մեջ կորագիծ տրապեզոիդի տարածքի դպրոցական բանաձևը (տես պարզ օրինակ թիվ 3) բանաձևի հատուկ դեպք է. . Քանի որ առանցքը նշված է հավասարմամբ, և ֆունկցիայի գրաֆիկը գտնվում է ոչ ավելի բարձրկացինները, ապա

Եվ հիմա մի քանի օրինակ ձեր սեփական լուծման համար

Օրինակ 5

Օրինակ 6

Գտե՛ք գծերով սահմանափակված նկարի մակերեսը, .

Որոշակի ինտեգրալով տարածքը հաշվարկելու հետ կապված խնդիրներ լուծելիս երբեմն զավեշտալի միջադեպ է տեղի ունենում: Նկարչությունը ճիշտ է կատարվել, հաշվարկները՝ ճիշտ, բայց անզգուշության պատճառով... հայտնաբերվել է սխալ գործչի տարածքը, հենց այդպես էլ խոնարհ ծառան մի քանի անգամ խաբեց. Ահա իրական կյանքի դեպք.

Օրինակ 7

Հաշվե՛ք նկարի մակերեսը, որը սահմանափակված է , , , գծերով:

ԼուծումՆախ, եկեք նկարենք.

...Էհ, գծանկարը խենթ դուրս եկավ, բայց ամեն ինչ կարծես ընթեռնելի է։

Այն գործիչը, որի տարածքը մենք պետք է գտնենք, կապույտ ստվերում է(Ուշադիր նայեք պայմանին. ինչպես է գործիչը սահմանափակվում): Բայց գործնականում, անուշադրության պատճառով, հաճախ առաջանում է «խափանում», որ դուք պետք է գտնեք ստվերավորված գործչի տարածքը. կանաչ!

Այս օրինակը նաև օգտակար է նրանով, որ այն հաշվարկում է գործչի տարածքը` օգտագործելով երկու որոշակի ինտեգրալներ: Իրոք.

1) առանցքի վերևում գտնվող հատվածի վրա կա ուղիղ գծի գրաֆիկ.

2) Առանցքի վերևում գտնվող հատվածի վրա կա հիպերբոլայի գրաֆիկ:

Միանգամայն ակնհայտ է, որ տարածքները կարող են (և պետք է) ավելացվեն, հետևաբար.

Պատասխան.

Անցնենք մեկ այլ բովանդակալից առաջադրանքի։

Օրինակ 8

Հաշվիր գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը,
Ներկայացնենք հավասարումները «դպրոցական» ձևով և կետ առ կետ նկարենք.

Գծագրից պարզ է դառնում, որ մեր վերին սահմանը «լավն է».
Բայց ո՞րն է ստորին սահմանը: Հասկանալի է, որ սա ամբողջ թիվ չէ, բայց ի՞նչ է։ Կարող է լինել. Բայց որտե՞ղ է երաշխիքը, որ գծագիրը կատարյալ ճշգրտությամբ է արված, կարող է պարզվել, որ... Կամ արմատը: Իսկ եթե մենք սխալ կառուցենք գրաֆիկը:

Նման դեպքերում պետք է լրացուցիչ ժամանակ ծախսել և վերլուծական կերպով հստակեցնել ինտեգրման սահմանները։

Գտնենք ուղիղ գծի և պարաբոլայի հատման կետերը։
Դա անելու համար մենք լուծում ենք հավասարումը.


,

Իսկապես, .

Հետագա լուծումը չնչին է, գլխավորը փոխարինումների և նշանների մեջ չշփոթվելն է, այստեղ հաշվարկներն ամենապարզը չեն.

Սեգմենտի վրա , ըստ համապատասխան բանաձեւի.

Պատասխան.

Դե, դասը ավարտելու համար եկեք նայենք ևս երկու բարդ առաջադրանքների:

Օրինակ 9

Հաշվիր գծերով սահմանափակված նկարի մակերեսը,

Լուծում: Եկեք պատկերենք այս նկարը գծագրում:

Անիծյալ, ես մոռացել էի ստորագրել ժամանակացույցը և, կներեք, ես չէի ուզում նորից նկարել: Նկարչության օր չէ, մի խոսքով, այսօր այդ օրն է =)

Կետ առ կետ շինարարության համար դուք պետք է իմանաք տեսքըսինուսոիդներ (և ընդհանուր առմամբ օգտակար է իմանալ բոլոր տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկները), ինչպես նաև որոշ սինուսային արժեքներ, դրանք կարելի է գտնել եռանկյունաչափական աղյուսակ. Որոշ դեպքերում (ինչպես այս դեպքում) հնարավոր է կառուցել սխեմատիկ գծագիր, որի վրա պետք է հիմնովին ճիշտ ցուցադրվեն ինտեգրման գրաֆիկները և սահմանները։

Այստեղ ինտեգրման սահմանների հետ կապված խնդիրներ չկան, դրանք ուղղակիորեն հետևում են պայմանին՝ «x»-ը զրոյից փոխվում է «pi»-ի. Եկեք հետագա որոշում կայացնենք.

Հատվածի վրա ֆունկցիայի գրաֆիկը գտնվում է առանցքի վերևում, հետևաբար.

Հաշվե՛ք գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը.

Լուծում.

Գտնել հատման կետերը տրված տողերը. Դա անելու համար մենք լուծում ենք հավասարումների համակարգը.

Տրված ուղիղների հատման կետերի աբսցիսան գտնելու համար լուծում ենք հավասարումը.

Մենք գտնում ենք. x 1 = -2, x 2 = 4.

Այսպիսով, այս ուղիղները, որոնք պարաբոլա և ուղիղ գիծ են, հատվում են կետերում Ա(-2; 0), Բ(4; 6).

Այս տողերը կազմում են փակ գործիչ, որի մակերեսը հաշվարկվում է վերը նշված բանաձևով.

Օգտագործելով Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը, մենք գտնում ենք.

Գտե՛ք էլիպսով սահմանափակված շրջանի տարածքը.

Լուծում.

Առաջին քառորդի համար էլիպսի հավասարումից ունենք. Այստեղից, օգտագործելով բանաձեւը, մենք ստանում ենք

Եկեք կիրառենք փոխարինում x = ամեղք տ, dx = ա cos տ dt. Ինտեգրման նոր սահմաններ տ = α Եվ տ = β որոշվում են 0 = հավասարումներից ամեղք տ, ա = ամեղք տ. Կարելի է դնել α = 0 և β = π /2.

Գտեք պահանջվող տարածքի մեկ չորրորդը

Այստեղից Ս = πab.

Գտեք գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսըy = - x 2 + x + 4 ևy = - x + 1.

Լուծում.

Գտնենք ուղիղների հատման կետերը y = -x 2 + x + 4, y = -x+ 1, հավասարեցնելով տողերի օրդինատները. x 2 + x + 4 = -x+ 1 կամ x 2 - 2x- 3 = 0. Արմատները գտնելը x 1 = -1, x 2 = 3 և դրանց համապատասխան օրդինատները y 1 = 2, y 2 = -2.

Օգտագործելով գործչի մակերեսի բանաձևը, մենք ստանում ենք

Որոշեք պարաբոլով պարփակված տարածքըy = x 2 + 1 և ուղիղx + y = 3.

Լուծում.

Հավասարումների համակարգի լուծում

գտե՛ք հատման կետերի աբսցիսսը x 1 = -2 և x 2 = 1.

Հավատալով y 2 = 3 - xԵվ y 1 = x 2 + 1, հիմնվելով այն բանաձևի վրա, որը մենք ստանում ենք

Հաշվեք Բեռնուլիի լեմնիսկատի պարունակվող տարածքըr 2 = ա 2 cos 2 φ .

Լուծում.

Բևեռային կոորդինատային համակարգում կորի աղեղով սահմանափակված գործչի տարածքը r = զ(φ ) և երկու բևեռային շառավիղներ φ 1 = ʅ Եվ φ 2 = ʆ , կարտահայտվի ինտեգրալով

Կորի համաչափության շնորհիվ մենք նախ որոշում ենք անհրաժեշտ տարածքի մեկ չորրորդը

Այսպիսով, ամբողջ տարածքը հավասար է Ս = ա 2 .

Հաշվիր ասրոիդի աղեղի երկարությունըx 2/3 + y 2/3 = ա 2/3 .

Լուծում.

Եկեք ասրոիդի հավասարումը գրենք ձևով

(x 1/3) 2 + (y 1/3) 2 = (ա 1/3) 2 .

դնենք x 1/3 = ա 1/3 կո տ, y 1/3 = ա 1/3 մեղք տ.

Այստեղից մենք ստանում ենք ասրոիդի պարամետրային հավասարումները

x = ա cos 3 տ, y = ամեղք 3 տ, (*)

որտեղ 0 ≤ տ ≤ 2π .

Կորի (*) համաչափության պատճառով բավական է գտնել աղեղի երկարության մեկ չորրորդը. Լ, որը համապատասխանում է պարամետրի փոփոխությանը տ 0-ից մինչև π /2.

Մենք ստանում ենք

dx = -3ա cos 2 տմեղք տ դտ, դի = 3ամեղք 2 տ cos տ դտ.

Այստեղից մենք գտնում ենք

Ստացված արտահայտության ինտեգրում 0-ից մինչև π /2, մենք ստանում ենք

Այստեղից Լ = 6ա.

Գտեք Արքիմեդի պարույրով պարփակված տարածքըr = aφ և երկու շառավղային վեկտորներ, որոնք համապատասխանում են բևեռային անկյուններինφ 1 Եվφ 2 (φ 1 < φ 2 ).

Լուծում.

Տարածք, որը պարփակված է կորով r = զ(φ ) հաշվարկվում է բանաձևով, որտեղ α Եվ β - բևեռային անկյան փոփոխության սահմանները.

Այսպիսով, մենք ստանում ենք

(*)

(*)-ից հետևում է, որ բևեռային առանցքով և Արքիմեդի պարույրի առաջին շրջադարձով սահմանափակված տարածքը ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):

Նմանապես, մենք գտնում ենք բևեռային առանցքով և Արքիմեդի պարույրի երկրորդ շրջադարձով սահմանափակված տարածքը ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):

Պահանջվող տարածքը հավասար է այս տարածքների տարբերությանը

Հաշվե՛ք առանցքի շուրջ պտտվելուց ստացված մարմնի ծավալըԵզ պարաբոլներով սահմանափակված թվերy = x 2 Եվx = y 2 .

Լուծում.

Լուծենք հավասարումների համակարգը

և մենք ստանում ենք x 1 = 0, x 2 = 1, y 1 = 0, y 2 = 1, որտեղից կորերի հատման կետերը Օ(0; 0), Բ(1; 1): Ինչպես երևում է նկարում, պտույտի մարմնի պահանջվող ծավալը հավասար է առանցքի շուրջ պտտվող երկու ծավալների տարբերությանը։ Եզկորագիծ trapezoids O.C.B.A.Եվ ՕԴԲԱ:

Հաշվի՛ր առանցքով պարփակված տարածքըԵզ և սինուսոիդy = մեղքx հատվածների վրա՝ ա) ; բ) .

Լուծում.

ա) հատվածի վրա ֆունկցիան sin xպահպանում է նշանը և հետևաբար ըստ բանաձևի՝ ենթադրելով y= մեղք x, գտնում ենք

բ) Սեգմենտի վրա, ֆունկցիա sin xփոխում է նշանը. Խնդիրը ճիշտ լուծելու համար անհրաժեշտ է հատվածը բաժանել երկուսի և [. π , 2π ], որոնցից յուրաքանչյուրում ֆունկցիան պահպանում է իր նշանը։

Ըստ նշանների կանոնի՝ հատվածի վրա [ π , 2π ] տարածքը վերցված է մինուս նշանով։

Արդյունքում պահանջվող տարածքը հավասար է

Որոշե՛ք էլիպսի պտույտից ստացված մակերևույթով սահմանափակված մարմնի ծավալըհիմնական առանցքի շուրջա .

Լուծում.

Հաշվի առնելով, որ էլիպսը սիմետրիկ է կոորդինատային առանցքների նկատմամբ, բավական է գտնել առանցքի շուրջ պտույտից գոյացած ծավալը։ Եզտարածք ՕԱԲ, հավասար է էլիպսի մակերեսի մեկ քառորդին և կրկնապատկել արդյունքը։

Պտտման մարմնի ծավալը նշանակենք Վ x; ապա հիմնվելով մեր ունեցած բանաձևի վրա, որտեղ 0 և ա- կետերի աբսցիսներ ԲԵվ Ա. Էլիպսի հավասարումից մենք գտնում ենք. Այստեղից

Այսպիսով, պահանջվող ծավալը հավասար է . (Երբ էլիպսը պտտվում է փոքր առանցքի շուրջ բ, մարմնի ծավալը հավասար է)

Գտեք պարաբոլներով սահմանափակված տարածքըy 2 = 2 px Եվx 2 = 2 py .

Լուծում.

Նախ՝ մենք գտնում ենք պարաբոլների հատման կետերի կոորդինատները՝ ինտեգրման հատվածը որոշելու համար։ Վերափոխելով սկզբնական հավասարումները՝ մենք ստանում ենք և. Հավասարեցնելով այս արժեքները, մենք ստանում ենք կամ x 4 - 8էջ 3 x = 0.

x 4 - 8էջ 3 x = x(x 3 - 8էջ 3) = x(x - 2էջ)(x 2 + 2px + 4էջ 2) = 0.

Գտեք հավասարումների արմատները.

Նկատի ունենալով այն փաստը, որ կետ Ապարաբոլների խաչմերուկը առաջին եռամսյակում է, ապա ինտեգրման սահմանները x= 0 և x = 2էջ.

Բանաձևով մենք գտնում ենք անհրաժեշտ տարածքը

Այս հոդվածում դուք կսովորեք, թե ինչպես կարելի է գտնել գծերով սահմանափակված գործչի տարածքը ինտեգրալ հաշվարկների միջոցով: Առաջին անգամ նման խնդրի ձևակերպմանը հանդիպում ենք ավագ դպրոցում, երբ նոր ենք ավարտել որոշակի ինտեգրալների ուսումնասիրությունը և ժամանակն է սկսել գործնականում ձեռք բերված գիտելիքների երկրաչափական մեկնաբանությունը։

Այսպիսով, ինչ է պահանջվում ինտեգրալների միջոցով գործչի տարածքը գտնելու խնդիրը հաջողությամբ լուծելու համար.

• Գրագետ գծագրեր կատարելու ունակություն;
• Որոշակի ինտեգրալ լուծելու ունակություն՝ օգտագործելով հայտնի Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը;
• Ավելի շահավետ լուծման տարբերակ «տեսնելու» ունակությունը, այսինքն. հասկանալ, թե ինչպես ավելի հարմար կլինի այս կամ այն ​​դեպքում ինտեգրացիա իրականացնել: x առանցքի երկայնքով (OX) թե y առանցքի (OY):
• Դե, որտե՞ղ կլինեինք մենք առանց ճիշտ հաշվարկների:) Սա ներառում է հասկանալ, թե ինչպես լուծել այդ այլ տեսակի ինտեգրալները և ճիշտ թվային հաշվարկներ:

Գծերով սահմանափակված գործչի տարածքը հաշվարկելու խնդրի լուծման ալգորիթմ.

1. Մենք գծանկար ենք կառուցում։ Ցանկալի է դա անել վանդակավոր թղթի վրա, մեծ մասշտաբով։ Յուրաքանչյուր գրաֆիկի վերևում մատիտով ստորագրում ենք այս ֆունկցիայի անունը։ Գրաֆիկների ստորագրումը կատարվում է բացառապես հետագա հաշվարկների հարմարության համար: Ստանալով ցանկալի գործչի գրաֆիկը, շատ դեպքերում անմիջապես պարզ կլինի, թե ինտեգրման որ սահմաններն են օգտագործվելու: Այսպիսով, մենք խնդիրը լուծում ենք գրաֆիկորեն: Այնուամենայնիվ, պատահում է, որ սահմանների արժեքները կոտորակային կամ իռացիոնալ են: Հետեւաբար, դուք կարող եք կատարել լրացուցիչ հաշվարկներ, անցեք երկրորդ քայլին:

2. Եթե ​​ինտեգրման սահմանները հստակորեն նշված չեն, ապա մենք գտնում ենք գրաֆիկների հատման կետերը միմյանց հետ և տեսնում, թե արդյոք մեր գրաֆիկական լուծումը համընկնում է վերլուծականի հետ։

3. Հաջորդը, դուք պետք է վերլուծեք նկարը: Կախված նրանից, թե ինչպես են դասավորված ֆունկցիայի գծապատկերները, կան տարբեր մոտեցումներ գործչի տարածքը գտնելու համար: Դիտարկենք ինտեգրալների միջոցով գործչի տարածքը գտնելու տարբեր օրինակներ:

3.1. Խնդրի ամենադասական և պարզ տարբերակն այն է, երբ դուք պետք է գտնեք կոր տրապիզոնի տարածքը: Ի՞նչ է կոր trapezoid-ը: Սա x-առանցքով սահմանափակված հարթ ցուցանիշ է (y = 0), ուղիղ x = a, x = bև ցանկացած կոր, որը շարունակվում է սկսած միջակայքի վրա ադեպի բ. Ընդ որում, այս ցուցանիշը ոչ բացասական է և գտնվում է x առանցքից ոչ ցածր: Այս դեպքում կորագիծ trapezoid-ի տարածքը թվայինորեն հավասար է որոշակի ինտեգրալի, որը հաշվարկվում է Newton-Leibniz բանաձևով.

Օրինակ 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Ո՞ր գծերով է սահմանափակված պատկերը: Մենք պարաբոլա ունենք y = x2 – 3x + 3, որը գտնվում է առանցքի վերևում Օհ, դա ոչ բացասական է, քանի որ այս պարաբոլայի բոլոր կետերն ունեն դրական արժեքներ. Հաջորդը, տրված ուղիղ գծեր x = 1Եվ x = 3, որոնք անցնում են առանցքին զուգահեռ Op-amp, ձախ և աջ նկարի սահմանային գծերն են։ Դե ինչ y = 0, դա նաև x առանցքն է, որը սահմանափակում է պատկերը ներքևից։ Ստացված գործիչը ստվերված է, ինչպես երևում է ձախ կողմում գտնվող նկարից: Այս դեպքում դուք կարող եք անմիջապես սկսել խնդրի լուծումը: Մեր առջև կա կոր trapezoid-ի պարզ օրինակ, որը մենք լուծում ենք Նյուտոն-Լայբնից բանաձևով:

3.2. Նախորդ 3.1 պարբերությունում մենք ուսումնասիրեցինք այն դեպքը, երբ կոր trapezoid գտնվում է x առանցքի վերևում: Այժմ դիտարկենք այն դեպքը, երբ խնդրի պայմանները նույնն են, բացառությամբ, որ ֆունկցիան գտնվում է x առանցքի տակ: Նյուտոն-Լայբնից ստանդարտ բանաձևին ավելացվում է մինուս: Ինչպես լուծել նման խնդիրը, մենք կքննարկենք ստորև:

Օրինակ 2 . Հաշվե՛ք գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Այս օրինակում մենք ունենք պարաբոլա y = x2 + 6x + 2, որը սկիզբ է առնում առանցքից Օհ, ուղիղ x = -4, x = -1, y = 0. Այստեղ y = 0սահմանափակում է ցանկալի ցուցանիշը վերևից: Ուղիղ x = -4Եվ x = -1սրանք այն սահմաններն են, որոնցում կհաշվարկվի որոշակի ինտեգրալը: Նկարի տարածքը գտնելու խնդրի լուծման սկզբունքը գրեթե ամբողջությամբ համընկնում է օրինակ 1-ի հետ: Միակ տարբերությունն այն է, որ տվյալ ֆունկցիան դրական չէ և նաև շարունակական է միջակայքում: [-4; -1] . Ի՞նչ նկատի ունեք ոչ դրական: Ինչպես երևում է նկարից, տվյալ x-երի ներսում գտնվող գործիչը ունի բացառապես «բացասական» կոորդինատներ, ինչը մենք պետք է տեսնենք և հիշենք խնդիրը լուծելիս: Մենք փնտրում ենք նկարի տարածքը Նյուտոն-Լայբնից բանաձևով, միայն սկզբում մինուս նշանով:

Հոդվածն ավարտված չէ։