Sunt permise doar numere întregi. Ce numere se numesc numere întregi? Numere întregi pozitive și numere întregi negative

Există multe tipuri de numere, unul dintre ele este numerele întregi. Numărurile întregi au părut să faciliteze numărarea nu numai în latura pozitiva, dar și negativ.

Să ne uităm la un exemplu:
Pe timpul zilei temperatura de afară era de 3 grade. Spre seară temperatura a scăzut cu 3 grade.
3-3=0
Afară au devenit 0 grade. Și noaptea temperatura a scăzut cu 4 grade și termometrul a început să arate -4 grade.
0-4=-4

O serie de numere întregi.

Nu putem descrie o astfel de problemă folosind numere naturale, vom considera această problemă pe o linie de coordonate.

Avem o serie de numere:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Această serie de numere se numește serie de numere întregi.

numere întregi pozitive. numere întregi negative.

Seria de numere întregi este formată din numere pozitive și negative. La dreapta lui zero sunt numerele naturale, sau se mai numesc numere întregi pozitive. Și la stânga lui zero merg numere întregi negative.

Zero nu este nici un număr pozitiv, nici negativ. Este granița dintre numerele pozitive și cele negative.

este un set de numere format din numere naturale, numere întregi negative și zero.

O serie de numere întregi într-o direcție pozitivă și negativă este un număr infinit.

Dacă luăm oricare două numere întregi, atunci numerele dintre aceste numere întregi vor fi numite mulţime finită.

De exemplu:
Să luăm numere întregi de la -2 la 4. Toate numerele dintre aceste numere sunt incluse în mulțimea finită. Setul nostru final de numere arată astfel:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Numerele naturale sunt notate cu litera latină N.
Numerele întregi sunt notate cu litera latină Z. Întregul set de numere naturale și numere întregi poate fi reprezentat într-o imagine.


Numerele întregi nepozitive cu alte cuvinte, sunt numere întregi negative.
Numerele întregi nenegative sunt numere întregi pozitive.

Informațiile din acest articol oferă o înțelegere generală a numere întregi. În primul rând, este dată o definiție a numerelor întregi și sunt date exemple. În continuare, luăm în considerare numerele întregi de pe dreapta numerică, de unde devine clar care numere sunt numite numere întregi pozitive și care sunt numite numere întregi negative. După aceasta, se arată cum sunt descrise modificările cantităților folosind numere întregi, iar numerele întregi negative sunt considerate în sensul datoriei.

Navigare în pagină.

Numerele întregi - Definiție și exemple

Definiţie.

numere întregi– acestea sunt numere naturale, numărul zero, precum și numere opuse celor naturale.

Definiția numerelor întregi afirmă că oricare dintre numerele 1, 2, 3, …, numărul 0, precum și oricare dintre numerele −1, −2, −3, … este un întreg. Acum putem aduce cu ușurință exemple de numere întregi. De exemplu, numărul 38 este un număr întreg, numărul 70.040 este, de asemenea, un număr întreg, zero este un număr întreg (rețineți că zero NU este un număr natural, zero este un număr întreg), numerele −999, −1, −8.934.832 sunt de asemenea exemple de numere întregi.

Este convenabil să reprezentați toate numerele întregi ca o secvență de numere întregi, care are următoarea formă: 0, ±1, ±2, ±3, ... O secvență de numere întregi poate fi scrisă astfel: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Din definiția numerelor întregi rezultă că mulțimea numerelor naturale este o submulțime a mulțimii numerelor întregi. Prin urmare, fiecare număr natural este un număr întreg, dar nu orice număr întreg este un număr natural.

Numerele întregi pe o linie de coordonate

Definiţie.

numere întregi pozitive sunt numere întregi mai mari decât zero.

Definiţie.

numere întregi negative sunt numere întregi mai mici decât zero.

Numerele întregi pozitive și negative pot fi determinate și de poziția lor pe linia de coordonate. Pe o linie de coordonate orizontală, punctele ale căror coordonate sunt numere întregi pozitive se află la dreapta originii. La rândul lor, punctele cu coordonate întregi negative sunt situate la stânga punctului O.

Este clar că mulțimea tuturor numerelor întregi pozitive este mulțimea numerelor naturale. La rândul său, mulțimea tuturor numerelor întregi negative este mulțimea tuturor numerelor opuse numerelor naturale.

Separat, permiteți-ne să vă atragem atenția asupra faptului că putem numi în siguranță orice număr natural un număr întreg, dar nu putem numi niciun număr întreg un număr natural. Putem numi orice număr întreg pozitiv doar un număr natural, deoarece numerele întregi negative și zero nu sunt numere naturale.

Numerele întregi nepozitive și nenegative

Să dăm definiții ale numerelor întregi nepozitive și ale numerelor întregi nenegative.

Definiţie.

Toate numerele întregi pozitive, împreună cu numărul zero, sunt numite numere întregi nenegative.

Definiţie.

Numerele întregi nepozitive– toate acestea sunt numere întregi negative împreună cu numărul 0.

Cu alte cuvinte, un număr întreg nenegativ este un număr întreg care este mai mare decât zero sau egal cu zero, iar un număr întreg nepozitiv este un număr întreg mai mic decât zero sau egal cu zero.

Exemple de numere întregi nepozitive sunt numerele −511, −10.030, 0, −2, iar ca exemple de numere întregi nenegative dăm numerele 45, 506, 0, 900.321.

Cel mai adesea, termenii „numere întregi nepozitive” și „numere întregi nenegative” sunt folosiți pentru concizie. De exemplu, în loc de expresia „numărul a este un număr întreg și a este mai mare decât zero sau egal cu zero”, puteți spune „a este un număr întreg nenegativ”.

Descrierea modificărilor cantităților folosind numere întregi

Este timpul să vorbim despre de ce sunt necesare numere întregi în primul rând.

Scopul principal al numerelor întregi este că, cu ajutorul lor, este convenabil să descrieți modificările cantității oricăror obiecte. Să înțelegem asta cu exemple.

Să existe un anumit număr de piese în depozit. Dacă, de exemplu, în depozit sunt aduse încă 400 de piese, atunci numărul de piese din depozit va crește, iar numărul 400 exprimă această modificare a cantității în sens pozitiv (în creștere). Dacă, de exemplu, se iau 100 de piese din depozit, atunci numărul de piese din depozit va scădea, iar numărul 100 va exprima o modificare a cantității în sens negativ (în jos). Piesele nu vor fi aduse la depozit, iar piesele nu vor fi luate din depozit, apoi putem vorbi despre cantitatea constantă de piese (adică putem vorbi despre schimbarea cantității zero).

În exemplele date, modificarea numărului de părți poate fi descrisă folosind numerele întregi 400, -100 și, respectiv, 0. Un număr întreg pozitiv 400 indică o modificare a cantității într-o direcție pozitivă (creștere). Un număr întreg negativ -100 exprimă o modificare a cantității într-o direcție negativă (scădere). Numărul întreg 0 indică faptul că cantitatea rămâne neschimbată.

Comoditatea utilizării numerelor întregi în comparație cu utilizarea numerelor naturale este că nu trebuie să indicați în mod explicit dacă cantitatea crește sau descrește - întregul cuantifică schimbarea, iar semnul întregului indică direcția schimbării.

Numerele întregi pot exprima, de asemenea, nu numai o modificare a cantității, ci și o modificare a unei cantități. Să înțelegem acest lucru folosind exemplul schimbărilor de temperatură.

O creștere a temperaturii de, să zicem, 4 grade este exprimată ca un întreg pozitiv 4. O scădere a temperaturii, de exemplu, cu 12 grade poate fi descrisă ca un număr întreg negativ -12. Iar invarianța temperaturii este modificarea acesteia, determinată de numărul întreg 0.

Separat, este necesar să spunem despre interpretarea numerelor întregi negative ca valoare a datoriei. De exemplu, dacă avem 3 mere, atunci numărul întreg pozitiv 3 reprezintă numărul de mere pe care le deținem. Pe de altă parte, dacă trebuie să dăm cuiva 5 mere, dar nu le avem în stoc, atunci această situație poate fi descrisă folosind un număr întreg negativ -5. În acest caz, „deținem” -5 mere, semnul minus indică datoria, iar numărul 5 cuantifică datoria.

Înțelegerea unui număr întreg negativ ca o datorie permite, de exemplu, justificarea regulii de adăugare a numerelor întregi negative. Să dăm un exemplu. Dacă cineva datorează 2 mere unei persoane și 1 măr altuia, atunci datoria totală este 2+1=3 mere, deci −2+(−1)=−3.

Referințe.

• Vilenkin N.Ya. si altii. Clasa a VI-a: manual pentru instituţiile de învăţământ general.

În acest articol vom defini mulțimea numerelor întregi, luând în considerare care numere întregi se numesc pozitive și care sunt negative. Vom arăta, de asemenea, cum sunt folosite numerele întregi pentru a descrie schimbările în anumite cantități. Să începem cu definiția și exemplele numerelor întregi.

Numerele întregi. Definiție, exemple

În primul rând, să ne amintim despre numerele naturale ℕ. Numele în sine sugerează că acestea sunt numere care au fost folosite în mod natural pentru numărare din timpuri imemoriale. Pentru a acoperi conceptul de numere întregi, trebuie să extindem definiția numerelor naturale.

Definiție 1. Numere întregi

Numerele întregi sunt numerele naturale, contrariile lor și numărul zero.

Mulțimea numerelor întregi se notează cu litera ℤ.

Mulțimea numerelor naturale ℕ este o submulțime a numerelor întregi ℤ. Fiecare număr natural este un număr întreg, dar nu orice număr întreg este un număr natural.

Din definiție rezultă că oricare dintre numerele 1, 2, 3 este un număr întreg. . , numărul 0, precum și numerele - 1, - 2, - 3, . .

În conformitate cu aceasta, vom da exemple. Numerele 39, - 589, 10000000, - 1596, 0 sunt numere întregi.

Lăsați linia de coordonate să fie desenată orizontal și îndreptată spre dreapta. Să aruncăm o privire la el pentru a vizualiza locația numerelor întregi pe o linie.

Originea liniei de coordonate corespunde numărului 0, iar punctele situate de ambele părți ale zero corespund numerelor întregi pozitive și negative. Fiecare punct corespunde unui singur întreg.

Puteți ajunge la orice punct de pe o linie a cărui coordonată este un număr întreg, lăsând deoparte un anumit număr de segmente de unitate de la origine.

Numerele întregi pozitive și negative

Dintre toate numerele întregi, este logic să distingem numerele întregi pozitive și negative. Să dăm definițiile lor.

Definiția 2: numere întregi pozitive

Numerele întregi pozitive sunt numere întregi cu semnul plus.

De exemplu, numărul 7 este un număr întreg cu semnul plus, adică un număr întreg pozitiv. Pe linia de coordonate, acest număr se află în dreapta punctului de referință, care este considerat numărul 0. Alte exemple de numere întregi pozitive: 12, 502, 42, 33, 100500.

Definiția 3: numere întregi negative

Numerele întregi negative sunt numere întregi cu semnul minus.

Exemple de numere întregi negative: - 528, - 2568, - 1.

Numărul 0 separă numerele întregi pozitive și negative și nu este el însuși nici pozitiv, nici negativ.

Orice număr care este opusul unui număr întreg pozitiv este, prin definiție, un număr întreg negativ. Este adevărat și contrariul. Inversa oricărui număr întreg negativ este un număr întreg pozitiv.

Este posibil să se ofere și alte formulări ale definițiilor numerelor întregi negative și pozitive folosind compararea lor cu zero.

Definiția 4: numere întregi pozitive

Numerele întregi pozitive sunt numere întregi mai mari decât zero.

Definiția 5: numere întregi negative

Numerele întregi negative sunt numere întregi mai mici decât zero.

În consecință, numerele pozitive se află la dreapta originii pe linia de coordonate, iar numerele întregi negative se află la stânga lui zero.

Am spus mai devreme că numerele naturale sunt un subset de numere întregi. Să clarificăm acest punct. Mulțimea numerelor naturale este formată din numere întregi pozitive. La rândul său, mulțimea numerelor întregi negative este mulțimea numerelor opuse celor naturale.

Important!

Orice număr natural poate fi numit număr întreg, dar orice număr întreg nu poate fi numit număr natural. Când răspundem la întrebarea dacă numerele negative sunt numere naturale, trebuie să spunem cu îndrăzneală - nu, nu sunt.

Numerele întregi nepozitive și nenegative

Să dăm câteva definiții.

Definiție 6. Numere întregi nenegative

Numerele întregi nenegative sunt numere întregi pozitive și numărul zero.

Definiție 7. Numere întregi nepozitive

Numerele întregi nepozitive sunt numere întregi negative și numărul zero.

După cum puteți vedea, numărul zero nu este nici pozitiv, nici negativ.

Exemple de numere întregi nenegative: 52, 128, 0.

Exemple de numere întregi nepozitive: - 52, - 128, 0.

Un număr nenegativ este un număr mai mare sau egal cu zero. În consecință, un număr întreg nepozitiv este un număr mai mic sau egal cu zero.

Termenii „număr nepozitiv” și „număr nenegativ” sunt folosiți pentru concizie. De exemplu, în loc să spuneți că numărul a este un număr întreg care este mai mare sau egal cu zero, puteți spune: a este un număr întreg nenegativ.

Utilizarea numerelor întregi pentru a descrie modificările cantităților

Pentru ce sunt folosite numerele întregi? În primul rând, cu ajutorul lor, este convenabil să descrieți și să determinați modificările cantității oricăror obiecte. Să dăm un exemplu.

Lăsați un anumit număr de arbori cotit să fie depozitat într-un depozit. Dacă în depozit sunt aduse încă 500 de arbori cotit, numărul acestora va crește. Cifra 500 exprimă cu exactitate modificarea (creșterea) numărului de părți. Dacă apoi sunt luate 200 de piese din depozit, atunci acest număr va caracteriza și schimbarea numărului de arbori cotit. De data asta, în jos.

Dacă nu se ia nimic din depozit și nu se livrează nimic, atunci numărul 0 va indica faptul că numărul de piese rămâne neschimbat.

Comoditatea evidentă a utilizării numerelor întregi, spre deosebire de numerele naturale, este că semnul lor indică în mod clar direcția schimbării valorii (creștere sau scădere).

O scădere a temperaturii cu 30 de grade poate fi caracterizată printr-un număr întreg negativ - 30 și o creștere cu 2 grade - printr-un număr întreg pozitiv 2.

Să dăm un alt exemplu folosind numere întregi. De data aceasta, să ne imaginăm că trebuie să dăm cuiva 5 monede. Apoi, putem spune că avem - 5 monede. Cifra 5 descrie mărimea datoriei, iar semnul minus indică faptul că trebuie să dăm monedele.

Dacă datorăm 2 monede unei persoane și 3 alteia, atunci datoria totală (5 monede) poate fi calculată utilizând regula adunării numerelor negative:

2 + (- 3) = - 5

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

numere întregi - Acest numere naturale, precum și numerele lor opuse și zero.

numere întregi— extinderea mulţimii numerelor naturale N, care se obține prin adăugarea la N 0 și numere negative precum − n. Mulțimea numerelor întregi denotă Z.

Sumă , diferenţăŞi lucru de numere întregi dau din nou numere întregi, i.e. numerele întregi formează un inel în raport cu operațiile de adunare și înmulțire.

Numerele întregi pe linia numerică:

Câte numere întregi? Câte numere întregi? Nu există un număr întreg cel mai mare și cel mai mic. Această serie este nesfârșită. Cel mai mare și cel mai mic număr întreg nu există.

Se mai numesc numere naturale pozitiv numere întregi, adică expresia „număr natural” și „întreg pozitiv” sunt același lucru.

Nici fracții sau zecimale nu sunt numere întregi. Dar există fracții cu numere întregi.

Exemple de numere întregi: -8, 111, 0, 1285642, -20051 și așa mai departe.

Vorbitor într-un limbaj simplu, numerele întregi sunt (∞... -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4...+ ∞) - o succesiune de numere întregi. Adică, cei a căror parte fracțională (()) este egală cu zero. Nu au acțiuni.

Numerele naturale sunt numere întregi pozitive. numere întregi, exemple: (1,2,3,4...+ ∞).

Operații pe numere întregi.

1. Suma numerelor întregi.

Pentru a adăuga două numere întregi cu aceleași semne, trebuie să adăugați module aceste numere și pune semnul final în fața sumei.

Exemplu:

(+2) + (+5) = +7.

2. Scăderea numerelor întregi.

Pentru a adăuga două numere întregi cu semne diferite, este necesar să se scadă din modulul numărului care este mai mare modulul numărului care este mai mic și înainte de răspuns se pune semnul numărului modulo mai mare.

Exemplu:

(-2) + (+5) = +3.

3. Înmulțirea numerelor întregi.

Pentru a înmulți două numere întregi, trebuie să înmulțiți modulele acestor numere și să puneți un semn plus (+) în fața produsului dacă numerele originale erau de același semn și un semn minus (-) dacă sunt diferite.

Exemplu:

(+2) ∙ (-3) = -6.

Când se înmulțesc mai multe numere, semnul produsului va fi pozitiv dacă numărul de factori nepozitivi este par și negativ dacă numărul de factori nepozitivi este impar.

Exemplu:

(-2) ∙ (+3) ∙ (-5) ∙ (-3) ∙ (+4) = -360 (3 factori nepozitivi).

4. Împărțirea numerelor întregi.

Pentru a împărți numerele întregi, trebuie să împărțiți modulul unuia la modulul celuilalt și să puneți un semn „+” în fața rezultatului dacă semnele numerelor sunt aceleași și un semn minus dacă sunt diferite.

Exemplu:

(-12) : (+6) = -2.

Proprietățile numerelor întregi.

Z nu este închis sub divizarea a 2 numere întregi ( de exemplu 1/2). Tabelul de mai jos arată câteva proprietăți de bază ale adunării și înmulțirii pentru orice număr întreg a, bŞi c.

Proprietate	plus	multiplicare
izolare	o + b- întreg	o × b- întreg
asociativitatea	o + (b + c) = (o + b) + c	o × ( b × c) = (o × b) × c
comutativitatea	o + b = b + o	o × b = b × o
existenţă element neutru	o + 0 = o	o × 1 = o
existenţă element opus	o + (−o) = 0	o ≠ ± 1 ⇒ 1/a nu este întreg
distributivitatea relativă de multiplicare plus	o × ( b + c) = (o × b) + (o × c)

Din tabel putem concluziona că Z este un inel comutativ cu unitate sub adunare și înmulțire.

Diviziunea standard nu există pe mulțimea numerelor întregi, dar există așa-numita împărțire cu rest: pentru toate numerele întregi oŞi b, b≠0, există un set de numere întregi qŞi r, Ce a = bq + rŞi 0≤r<|b| , Unde |b|— valoarea absolută (modulul) unui număr b. Aici o- divizibil, b- separator, q- privat, r- restul.