Înmulțirea zecimalelor: reguli, exemple, soluții. Fracţiune
Pentru a înțelege cum să înmulțim zecimale, să ne uităm la exemple specifice.
Regula pentru înmulțirea zecimalelor
1) Înmulțiți fără să acordați atenție virgulei.
2) Ca urmare, separăm atâtea cifre după virgulă câte sunt după virgulă în ambii factori împreună.
Exemple.
Aflați produsul fracțiilor zecimale:
Pentru a înmulți fracțiile zecimale, înmulțim fără să fim atenți la virgule. Adică înmulțim nu 6,8 și 3,4, ci 68 și 34. Drept urmare, separăm atâtea cifre după virgulă câte sunt după virgulă în ambii factori împreună. În primul factor există o cifră după virgulă, în al doilea există și una. În total, separăm două numere după virgulă. Astfel, am obținut răspunsul final: 6,8∙3,4=23,12.
Înmulțim zecimale fără a ține cont de punctul zecimal. Adică, de fapt, în loc să înmulțim 36,85 cu 1,14, înmulțim 3685 cu 14. Obținem 51590. Acum, în acest rezultat, trebuie să separăm câte cifre cu virgulă există în ambii factori împreună. Primul număr are două cifre după virgulă, al doilea are una. În total, separăm trei cifre cu o virgulă. Deoarece există un zero după virgulă la sfârșitul înregistrării, nu îl scriem în răspuns: 36,85∙1,4=51,59.
Pentru a înmulți aceste zecimale, să înmulțim numerele fără să fim atenți la virgule. Adică, înmulțim numerele naturale 2315 și 7. Obținem 16205. În acest număr, trebuie să separați patru cifre după virgulă zecimală - câte sunt în ambii factori împreună (două în fiecare). Răspuns final: 23,15∙0,07=1,6205.
Înmulțirea unei fracții zecimale cu un număr natural se face în același mod. Înmulțim numerele fără să fim atenți la virgulă zecimală, adică înmulțim 75 cu 16. Rezultatul rezultat ar trebui să conțină același număr de semne după virgulă zecimală cât există în ambii factori împreună - unul. Astfel, 75∙1,6=120,0=120.
Începem să înmulțim fracțiile zecimale prin înmulțirea numerelor naturale, deoarece nu acordăm atenție virgulelor. După aceasta, separăm atâtea cifre după virgulă câte sunt în ambii factori împreună. Primul număr are două zecimale, al doilea are și două. În total, rezultatul ar trebui să fie de patru cifre după virgulă: 4,72∙5,04=23,7888.
Știți deja că un * 10 = a + a + a + a + a + a + a + a + a + a. De exemplu, 0,2 * 10 = 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2. Este ușor de ghicit că această sumă este egală cu 2, adică. 0,2 * 10 = 2.
În mod similar, puteți verifica că:
5,2 * 10 = 52 ;
0,27 * 10 = 2,7 ;
1,253 * 10 = 12,53 ;
64,95 * 10 = 649,5 .
Probabil ați ghicit că atunci când înmulțiți o fracție zecimală cu 10, trebuie să mutați punctul zecimal din această fracție la dreapta cu o cifră.
Cum se înmulțește o fracție zecimală cu 100?
Avem: a * 100 = a * 10 * 10. Apoi:
2,375 * 100 = 2,375 * 10 * 10 = 23,75 * 10 = 237,5 .
Raționând în mod similar, obținem că:
3,2 * 100 = 320 ;
28,431 * 100 = 2843,1 ;
0,57964 * 100 = 57,964 .
Înmulțiți fracția 7,1212 cu numărul 1.000.
Avem: 7,1212 * 1.000 = 7,1212 * 100 * 10 = 712,12 * 10 = 7121,2.
Aceste exemple ilustrează următoarea regulă.
Pentru a înmulți o fracție zecimală cu 10, 100, 1.000 etc., trebuie să mutați punctul zecimal din această fracție la dreapta cu 1, 2, 3 etc., respectiv. numere.
Deci, dacă virgula este mutată la dreapta cu 1, 2, 3 etc. numere, atunci fracția va crește corespunzător cu 10, 100, 1.000 etc. dată.
Prin urmare, dacă virgula este mutată la stânga cu 1, 2, 3 etc. numere, atunci fracția va scădea corespunzător cu 10, 100, 1.000 etc. dată .
Să arătăm că forma zecimală de scriere a fracțiilor face posibilă înmulțirea lor, ghidată de regula înmulțirii numerelor naturale.
Să găsim, de exemplu, produsul 3,4 * 1,23. Să creștem primul factor de 10 ori, iar al doilea de 100 de ori. Aceasta înseamnă că am mărit produsul de 1.000 de ori.
Prin urmare, produsul numerelor naturale 34 și 123 este de 1.000 de ori mai mare decât produsul dorit.
Avem: 34 * 123 = 4182. Apoi, pentru a obține răspunsul, trebuie să reduceți numărul 4.182 de 1.000 de ori. Să scriem: 4 182 = 4 182,0. Mutând punctul zecimal din numărul 4.182,0 cu trei cifre la stânga, obținem numărul 4.182, care este de 1.000 de ori mai mic decât numărul 4.182. Prin urmare 3,4 * 1,23 = 4,182.
Același rezultat poate fi obținut folosind următoarea regulă.
Pentru a înmulți două fracții zecimale:
1) înmulțiți-le ca numere naturale, ignorând virgulele;
2) în produsul rezultat, separați cu o virgulă în dreapta câte cifre sunt după virgule în ambii factori împreună.
În cazurile în care produsul conține mai puține cifre decât este necesar pentru a fi separate prin virgulă, numărul necesar de zerouri este adăugat la stânga înainte de produs, iar apoi virgula este mutată la stânga cu numărul necesar de cifre.
De exemplu, 2 * 3 = 6, apoi 0,2 * 3 = 0,006; 25 * 33 = 825, apoi 0,025 * 0,33 = 0,00825.
În cazurile în care unul dintre multiplicatori este 0,1; 0,01; 0,001 etc., este convenabil să folosiți următoarea regulă.
Pentru a înmulți o zecimală cu 0,1; 0,01; 0,001 etc., trebuie să mutați punctul zecimal din această fracție la stânga, respectiv, la 1, 2, 3 etc. numere.
De exemplu, 1,58 * 0,1 = 0,158; 324,7 * 0,01 = 3,247.
Proprietățile înmulțirii numerelor naturale se aplică și numerelor fracționale:
ab = ba este proprietatea comutativă a înmulțirii,
(ab) с = a(b с) – proprietatea asociativă a înmulțirii,
a(b + c) = ab + ac este proprietatea distributivă a înmulțirii relativ la adunare.
Înapoi Înainte
Atenţie! Previzualizările diapozitivelor au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate caracteristicile prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.
Obiectivul lecției:
- Într-un mod distractiv, prezentați elevilor regula de înmulțire a unei fracții zecimale cu un număr natural, cu o unitate de valoare de loc și regula de exprimare a unei fracții zecimale ca procent. Dezvoltați capacitatea de a aplica cunoștințele dobândite atunci când rezolvați exemple și probleme.
- Dezvoltați și activați gândire logică studenților, capacitatea de a identifica tipare și de a le generaliza, de a întări memoria, de abilitatea de a coopera, de a oferi asistență, de a-și evalua propria muncă și munca celuilalt.
- Cultivați interesul pentru matematică, activitate, mobilitate și abilități de comunicare.
Echipament: tablă interactivă, poster cu o cifergramă, postere cu declarații ale matematicienilor.
Progresul lecției
- Moment organizatoric.
- Aritmetică orală – generalizarea materialului studiat anterior, pregătirea pentru studierea materialului nou.
- Explicația noului material.
- Temă pentru acasă.
- Educație fizică matematică.
- Generalizarea și sistematizarea cunoștințelor dobândite într-un mod ludic folosind un calculator.
- Notare.
2. Băieți, astăzi lecția noastră va fi oarecum neobișnuită, pentru că nu o voi preda singur, ci cu prietenul meu. Și prietenul meu este, de asemenea, neobișnuit, îl vei vedea acum. (Pe ecran apare un computer de desene animate.) Prietenul meu are un nume și poate vorbi. Cum te cheamă, amice? Komposha răspunde: „Numele meu este Komposha”. Ești gata să mă ajuți astăzi? DA! Ei bine, atunci hai să începem lecția.
Astăzi am primit o cifrgramă criptată, băieți, pe care trebuie să o rezolvăm și să o descifrăm împreună. (Pe tablă este atârnat un afiș cu un calcul oral pentru adunarea și scăderea fracțiilor zecimale, în urma căruia copiii primesc următorul cod 523914687. )
| 5 | 2 | 3 | 9 | 1 | 4 | 6 | 8 | 7 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Komposha ajută la descifrarea codului primit. Rezultatul decodării este cuvântul MULTIPLICARE. Înmulțirea este cuvântul cheie al subiectului lecției de astăzi. Subiectul lecției este afișat pe monitor: „Înmulțirea unei fracții zecimale cu un număr natural”
Băieți, știm să înmulțim numerele naturale. Astăzi ne vom uita la înmulțirea numerelor zecimale cu un număr natural. Înmulțirea unei fracții zecimale cu un număr natural poate fi considerată o sumă de termeni, fiecare dintre care este egal cu această fracție zecimală, iar numărul de termeni este egal cu acest număr natural. De exemplu: 5.21 ·3 = 5,21 + 5,21 + 5,21 = 15,63 Aceasta înseamnă 5,21·3 = 15,63.
Prezentând 5,21 ca o fracție comună unui număr natural, obținem
Și în acest caz am obținut același rezultat: 15,63. Acum, ignorând virgula, în loc de numărul 5,21, luați numărul 521 și înmulțiți-l cu acest număr natural. Aici trebuie să ne amintim că într-unul dintre factori virgula a fost mutată cu două locuri la dreapta. Înmulțind numerele 5, 21 și 3, obținem un produs egal cu 15,63. Acum, în acest exemplu, mutăm virgula la stânga două locuri. Astfel, de câte ori a fost crescut unul dintre factori, de câte ori a scăzut produsul. Pe baza asemănărilor acestor metode, vom trage o concluzie.
Pentru a înmulți o fracție zecimală cu un număr natural, trebuie să:
1) fără a fi atent la virgulă, înmulțiți numerele naturale;
2) în produsul rezultat, separați câte cifre de la dreapta cu virgulă sunt în fracția zecimală. Pe monitor sunt afișate următoarele exemple, pe care le analizăm împreună cu Komposha și băieții: 5.21·3 = 15.63 și 7.624·15 = 114.34.
Apoi arăt înmulțirea cu un număr rotund 12,6·50 = 630. În continuare, trec la înmulțirea unei fracțiuni zecimale cu o unitate de valoare de loc. Arăt următoarele exemple: 7.423
·100 = 742,3 și 5,2·1000 = 5200. Așadar, introduc regula pentru înmulțirea unei fracții zecimale cu o unitate de cifre:
Pentru a înmulți o fracție zecimală cu unitățile de cifre 10, 100, 1000 etc., trebuie să mutați punctul zecimal din această fracție la dreapta cu atâtea locuri câte zerouri există în unitatea de cifre.
Îmi termin explicația exprimând fracția zecimală ca procent. introduc regula:
4. Pentru a exprima o fracție zecimală ca procent, trebuie să o înmulțiți cu 100 și să adăugați semnul %. Voi da un exemplu pe un computer: 0,5 100 = 50 sau 0,5 = 50%. La finalul explicației le dau băieților № 1030, № 1034, № 1032.
5. Pentru ca băieții să se odihnească puțin, facem o sesiune de educație fizică matematică împreună cu Komposha pentru a consolida tema. Toată lumea se ridică, arată clasei exemplele rezolvate și trebuie să răspundă dacă exemplul a fost rezolvat corect sau incorect. Dacă exemplul este rezolvat corect, atunci își ridică brațele deasupra capului și bat din palme. Dacă exemplul nu este rezolvat corect, băieții își întind brațele în lateral și își întind degetele.
6. Și acum te-ai odihnit puțin, poți rezolva sarcinile. Deschide manualul la pagina 205, № 1029. În această sarcină trebuie să calculați valoarea expresiilor:
Sarcinile apar pe computer. Pe măsură ce sunt rezolvate, apare o imagine cu imaginea unei bărci care plutește atunci când este complet asamblată.
Nr. 1031 Calculați:
Rezolvând această sarcină pe computer, racheta se pliază treptat, după rezolvarea ultimului exemplu, racheta zboară. Profesorul oferă elevilor câteva informații: „În fiecare an, nave spațiale decolează din Cosmodromul Baikonur de pe pământul Kazahstanului până la stele. Kazahstanul își construiește noul cosmodrom Baiterek lângă Baikonur.
Nr. 1035. Problemă.
Cât de departe va parcurge un autoturism în 4 ore dacă viteza autoturismului este de 74,8 km/h.
Această sarcină este însoțită de design sonor și de o scurtă declarație a sarcinii afișată pe monitor. Dacă problema este rezolvată corect, atunci mașina începe să avanseze până la steagul de sosire.
№ 1033. Scrieți zecimale sub formă de procente.
0,2 = 20%; 0,5 = 50%; 0,75 = 75%; 0,92 = 92%; 1,24 =1 24%; 3,5 = 350%; 5,61= 561%.
Rezolvând fiecare exemplu, când apare răspunsul, apare o literă, rezultând un cuvânt Bine făcut.
Profesorul îl întreabă pe Komposha de ce ar apărea acest cuvânt? Komposha răspunde: „Bravo, băieți!” și își ia rămas bun de la toată lumea.
Profesorul rezumă lecția și dă note.
În ultima lecție am învățat cum să adunăm și să scădem zecimale (vezi lecția „Adunarea și scăderea zecimalelor”). În același timp, am evaluat cât de mult calculele sunt simplificate în comparație cu fracțiile obișnuite „cu două etaje”.
Din păcate, acest efect nu apare la înmulțirea și împărțirea zecimalelor. În unele cazuri, notația zecimală chiar complică aceste operații.
Mai întâi, să introducem o nouă definiție. Îl vom vedea destul de des, și nu doar în această lecție.
Partea semnificativă a unui număr este tot ce se află între prima și ultima cifră diferită de zero, inclusiv capete. Este vorba despre numai despre numere, punctul zecimal nu este luat în considerare.
Cifrele incluse în partea semnificativă a unui număr se numesc cifre semnificative. Ele pot fi repetate și chiar egale cu zero.
De exemplu, luați în considerare câteva fracții zecimale și scrieți părțile semnificative corespunzătoare:
- 91,25 → 9125 (cifre semnificative: 9; 1; 2; 5);
- 0,008241 → 8241 (cifre semnificative: 8; 2; 4; 1);
- 15,0075 → 150075 (cifre semnificative: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
- 0,0304 → 304 (cifre semnificative: 3; 0; 4);
- 3000 → 3 (există o singură cifră semnificativă: 3).
Vă rugăm să rețineți: zerourile din interiorul părții semnificative a numărului nu merg nicăieri. Am întâlnit deja ceva similar când am învățat să convertim fracțiile zecimale în fracții obișnuite (vezi lecția „Decimale”).
Acest punct este atât de important și aici se fac greșeli atât de des, încât voi publica un test pe această temă în viitorul apropiat. Asigurați-vă că exersați! Și noi, înarmați cu conceptul părții semnificative, vom trece, de fapt, la subiectul lecției.
Înmulțirea zecimalelor
Operația de înmulțire constă din trei etape succesive:
- Pentru fiecare fracție, notați partea semnificativă. Veți obține două numere întregi obișnuite - fără numitori și puncte zecimale;
- Înmulțiți aceste numere în orice mod convenabil. Direct, dacă numerele sunt mici, sau într-o coloană. Obținem partea semnificativă a fracției dorite;
- Aflați unde și cu câte cifre este deplasată punctul zecimal din fracțiile originale pentru a obține partea semnificativă corespunzătoare. Efectuați schimburi inverse pentru partea semnificativă obținută în pasul anterior.
Permiteți-mi să vă reamintesc încă o dată că zerourile de pe părțile laterale ale părții semnificative nu sunt niciodată luate în considerare. Ignorarea acestei reguli duce la erori.
- 0,28 12,5;
- 6,3 · 1,08;
- 132,5 · 0,0034;
- 0,0108 1600,5;
- 5,25 · 10.000.
Se lucrează cu prima expresie: 0,28 · 12,5.
- Să notăm părțile semnificative pentru numerele din această expresie: 28 și 125;
- Produsul lor: 28 · 125 = 3500;
- În primul factor punctul zecimal este deplasat cu 2 cifre la dreapta (0,28 → 28), iar în al doilea este deplasat cu încă 1 cifră. În total, aveți nevoie de o deplasare la stânga cu trei cifre: 3500 → 3.500 = 3,5.
Acum să ne uităm la expresia 6.3 · 1.08.
- Să notăm părțile semnificative: 63 și 108;
- Produsul lor: 63 · 108 = 6804;
- Din nou, două deplasări la dreapta: cu 2 și, respectiv, 1 cifră. Total - din nou 3 cifre la dreapta, deci schimbarea inversă va fi de 3 cifre la stânga: 6804 → 6.804. De data aceasta, nu există zerouri finale.
Am ajuns la a treia expresie: 132,5 · 0,0034.
- Părți semnificative: 1325 și 34;
- Produsul lor: 1325 · 34 = 45.050;
- În prima fracțiune, punctul zecimal se deplasează la dreapta cu 1 cifră, iar în a doua - cu până la 4. Total: 5 la dreapta. Ne deplasăm cu 5 la stânga: 45.050 → .45050 = 0.4505. Zeroul a fost eliminat la sfârșit și adăugat în față pentru a nu lăsa un punct zecimal „gol”.
Următoarea expresie este: 0,0108 · 1600,5.
- Scriem părțile semnificative: 108 și 16 005;
- Le înmulțim: 108 · 16.005 = 1.728.540;
- Numărăm numerele după virgulă: în primul număr sunt 4, în al doilea sunt 1. Totalul este din nou 5. Avem: 1.728.540 → 17,28540 = 17,2854. La final, zeroul „extra” a fost eliminat.
În sfârșit, ultima expresie: 5,25 10.000.
- Părți semnificative: 525 și 1;
- Le înmulțim: 525 · 1 = 525;
- Prima fracție este deplasată cu 2 cifre la dreapta, iar a doua fracție este deplasată cu 4 cifre la stânga (10.000 → 1,0000 = 1). Total 4 − 2 = 2 cifre la stânga. Efectuăm o deplasare inversă cu 2 cifre la dreapta: 525, → 52.500 (a trebuit să adăugăm zerouri).
Observați ultimul exemplu: deoarece punctul zecimal este mutat la directii diferite, deplasarea totală se găsește prin diferență. Acest lucru este foarte punct important! Iată un alt exemplu:
Luați în considerare numerele 1,5 și 12.500 Avem: 1,5 → 15 (deplasare cu 1 la dreapta); 12.500 → 125 (deplasarea 2 la stânga). „Pașim” cu 1 cifră la dreapta și apoi 2 la stânga. Ca rezultat, am făcut pasul 2 − 1 = 1 cifră spre stânga.
Împărțire zecimală
Diviziunea este poate cea mai dificilă operațiune. Desigur, aici puteți acționa prin analogie cu înmulțirea: împărțiți părțile semnificative și apoi „mutați” punctul zecimal. Dar, în acest caz, apar multe subtilități care anulează potențialele economii.
Prin urmare, să ne uităm la un algoritm universal, care este puțin mai lung, dar mult mai fiabil:
- Convertiți toate fracțiile zecimale în fracții obișnuite. Cu puțină practică, acest pas vă va dura câteva secunde;
- Împărțiți fracțiile rezultate în mod clasic. Cu alte cuvinte, înmulțiți prima fracție cu a doua „inversată” (vezi lecția „Înmulțirea și împărțirea fracțiilor numerice”);
- Dacă este posibil, prezentați din nou rezultatul ca o fracție zecimală. Acest pas este, de asemenea, rapid, deoarece numitorul este adesea deja o putere a zece.
Sarcină. Găsiți sensul expresiei:
- 3,51: 3,9;
- 1,47: 2,1;
- 6,4: 25,6:
- 0,0425: 2,5;
- 0,25: 0,002.
Să luăm în considerare prima expresie. Mai întâi, să convertim fracțiile în zecimale:
Să facem același lucru cu a doua expresie. Numătorul primei fracții va fi din nou factorizat:
Există un punct important în al treilea și al patrulea exemplu: după ce scăpați de notația zecimală, apar fracțiile reductibile. Cu toate acestea, nu vom efectua această reducere.
Ultimul exemplu este interesant deoarece numărătorul celei de-a doua fracții conține un număr prim. Pur și simplu nu este nimic de factorizat aici, așa că considerăm că este simplu:
Uneori, împărțirea are ca rezultat un număr întreg (vorbesc despre ultimul exemplu). În acest caz, al treilea pas nu este efectuat deloc.
În plus, la împărțire, apar adesea fracții „urâte” care nu pot fi convertite în zecimale. Acest lucru distinge împărțirea de înmulțire, unde rezultatele sunt întotdeauna reprezentate în formă zecimală. Desigur, în acest caz, ultimul pas nu este din nou efectuat.
Acordați atenție și celui de-al 3-lea și al 4-lea exemple. În ele, nu reducem în mod deliberat fracțiile obișnuite derivate din zecimale. În caz contrar, acest lucru va complica sarcina inversă - reprezentând răspunsul final din nou în formă zecimală.
Amintiți-vă: proprietatea de bază a unei fracții (ca orice altă regulă din matematică) în sine nu înseamnă că trebuie aplicată peste tot și întotdeauna, cu orice ocazie.
La fel ca numerele obișnuite.
2. Numărăm numărul de zecimale pentru prima fracție zecimală și pentru a 2-a. Adunăm numerele lor.
3. În rezultatul final, numărați de la dreapta la stânga același număr de cifre ca în paragraful de mai sus și puneți o virgulă.
Reguli pentru înmulțirea fracțiilor zecimale.
1. Înmulțiți fără să acordați atenție virgulei.
2. În produs, separăm același număr de cifre după virgulă zecimală ca și după virgulă zecimală în ambii factori împreună.
Când înmulți o fracție zecimală cu un număr natural, trebuie să:
1. Înmulțiți numerele fără a fi atent la virgulă;
2. Ca urmare, plasăm virgula astfel încât să fie atâtea cifre în dreapta ei câte sunt în fracția zecimală.
Înmulțirea fracțiilor zecimale cu coloană.
Să ne uităm la un exemplu:
Scriem fracțiile zecimale într-o coloană și le înmulțim ca numere naturale, fără să acordăm atenție virgulelor. Aceste. Considerăm 3,11 ca 311 și 0,01 ca 1.
Rezultatul este 311. În continuare, numărăm numărul de semne (cifre) după virgulă zecimală pentru ambele fracții. Prima zecimală are 2 cifre, iar a doua are 2. Număr total cifre după zecimale:
2 + 2 = 4
Numărăm de la dreapta la stânga patru cifre ale rezultatului. Rezultatul final conține mai puține numere decât trebuie separate prin virgulă. În acest caz, trebuie să adăugați numărul de zerouri lipsă la stânga.
În cazul nostru, prima cifră lipsește, așa că adăugăm 1 zero la stânga.
Vă rugăm să rețineți:
Când înmulțiți orice fracție zecimală cu 10, 100, 1000 și așa mai departe, punctul zecimal din fracția zecimală este mutat la dreapta cu atâtea locuri câte zerouri sunt după unu.
De exemplu:
70,1 . 10 = 701
0,023 . 100 = 2,3
5,6 . 1 000 = 5 600
Vă rugăm să rețineți:
Pentru a înmulți o zecimală cu 0,1; 0,01; 0,001; și așa mai departe, trebuie să mutați punctul zecimal din această fracție la stânga cu atâtea locuri câte zerouri sunt înaintea unuia.
Numărăm zero numere întregi!
De exemplu:
12 . 0,1 = 1,2
0,05 . 0,1 = 0,005
1,256 . 0,01 = 0,012 56
