ความเร็วสูงสุดของบล็อกบนสูตรสปริง การสั่นสะเทือนฟรี

ปัญหาฟิสิกส์ - 4424

2017-10-21
สปริงเบาที่มีความแข็ง $k$ ติดอยู่กับบล็อกมวล $m$ ที่วางอยู่บนระนาบแนวนอน โดยปลายที่สองของสปริงนั้นถูกตรึงไว้เพื่อไม่ให้สปริงเสียรูป และแกนของสปริงอยู่ในแนวนอนและผ่านจุดศูนย์กลางของสปริง มวลของบล็อก บล็อกจะผสมไปตามแกนของสปริงที่ระยะ $ \Delta L$ และปล่อยออกมาโดยไม่มีความเร็วเริ่มต้น จงหาความเร็วสูงสุดของบล็อกหากสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานบนระนาบคือ $\mu$

สารละลาย:

เราจะถือว่าสำหรับการเคลื่อนตัวของบล็อกที่กำหนด การเสียรูปของสปริงจะยืดหยุ่นได้อย่างสมบูรณ์ จากนั้น ตามกฎของฮุค เราสามารถสันนิษฐานได้ว่าบล็อกจากด้านข้างของสปริง ณ เวลาที่ปล่อยนั้นถูกกระทำด้วยแรง $F_(pr) = k \Delta L$ ซึ่งกำหนดทิศทางในแนวนอนตามแนวแกนของสปริง . แรงปฏิกิริยาของระนาบที่กระทำต่อบล็อกสามารถแสดงในรูปแบบขององค์ประกอบสองส่วน: ตั้งฉากและขนานกับระนาบนี้ ขนาดขององค์ประกอบปกติของแรงปฏิกิริยา $N$ สามารถกำหนดได้ตามกฎข้อที่สองของนิวตัน โดยสมมติว่ากรอบอ้างอิงที่อยู่นิ่งซึ่งสัมพันธ์กับระนาบนี้เป็นแรงเฉื่อย และบล็อกสามารถเคลื่อนที่ไปตามระนาบนี้ได้เท่านั้น หากละเลยการกระทำของอากาศบนบล็อก เราจะได้: $N - mg = 0$ โดยที่ $g$ คือขนาดของความเร่งโน้มถ่วง ตามกฎของคูลอมบ์ โดยมีบล็อกที่อยู่นิ่ง ค่าสูงสุดขององค์ประกอบคู่ขนานของ แรงปฏิกิริยา - แรงเสียดทานสถิตแบบแห้ง - เท่ากับ $\mu N $ ดังนั้นสำหรับ $k \Delta L \leq \mu mg$ บล็อกจะต้องไม่เคลื่อนที่หลังจากปล่อย แต่หาก $k \Delta L > \mu mg$ จากนั้นหลังจากปล่อยบล็อกจะเริ่มเคลื่อนที่ด้วยความเร่งเนื่องจากแนวแรงที่ด้านข้างของสปริงเคลื่อนผ่านจุดศูนย์กลางมวลของบล็อก และแรงเสียดทานมีทิศทางตรงกันข้าม ความเร็วบล็อกจะเคลื่อนที่แบบแปลน ในกรณีนี้ความผิดปกติของสปริงจะลดลงดังนั้นความเร่งของบล็อกจึงควรลดลงในขณะที่ผลรวมของแรงที่กระทำต่อบล็อกกลายเป็นศูนย์ ความเร็วของบล็อกจะกลายเป็นค่าสูงสุด หากตามปกติ เราถือว่าขนาดของแรงเสียดทานแบบเลื่อนแห้งไม่ขึ้นอยู่กับความเร็วและเท่ากับค่าสูงสุดของแรงเสียดทานสถิตแบบแห้ง ดังนั้น ตาม จากเงื่อนไขของปัญหา มวลของสปริง ขนาดของสปริง $\Delta x $ ที่ผิดรูป ณ เวลาที่เราสนใจ สามารถคำนวณได้ง่ายๆ จากความสัมพันธ์ $k \Delta x = \mu mg$ นึกถึงการแสดงออกในการคำนวณพลังงานจลน์ของวัตถุแข็งที่เคลื่อนที่ในการแปลพลังงานศักย์ของสปริงที่เปลี่ยนรูปอย่างยืดหยุ่นและคำนึงว่าการกระจัดของบล็อกในช่วงเวลานี้จะเท่ากับ $\Delta L - \Delta x$ ตามกฎของการเปลี่ยนแปลงพลังงานกล เราสามารถระบุได้ว่าความเร็วสูงสุดคือ $ v_(max)$ ของบล็อกจะต้องเป็นไปตามสมการ:

$\frac(k \Delta L^(2))(2) = \frac(k \Delta x^(2))(2) + \frac(mv_(สูงสุด)^(2))(2) + \ หมู่ มก. (\Delta L - \Delta x)$

จากที่กล่าวมาข้างต้น ความเร็วสูงสุดของบล็อกภายใต้สมมติฐานที่ทำไว้ควรเท่ากับ

$v_(max) = \begin(cases) 0, & \text(at) k \Delta L \leq \mu mg \\ \sqrt( \frac(k)(m)) \left (\Delta L - \ frac( \mu mg)(k) \right) & \text(at) k \Delta L > \mu mg \end(cases)$

ผู้สมัครสาขาวิทยาศาสตร์กายภาพและคณิตศาสตร์ V. POGOZHEV

(จบ เริ่มดู "วิทยาศาสตร์และชีวิต" ลำดับที่)

เรากำลังเผยแพร่ส่วนสุดท้ายของปัญหาในหัวข้อ "กลศาสตร์" บทความถัดไปจะกล่าวถึงการแกว่งและคลื่น

ปัญหาที่ 4 (1994) จากเนินเขาที่ค่อยๆ กลายเป็นระนาบแนวนอนจากที่สูง ชม.เครื่องซักผ้าขนาดเล็กที่มีมวลลื่นหลุดออก ม- สไลด์เคลื่อนย้ายได้เรียบลื่นพร้อมมวล มและความสูง เอ็น> ชม.- ส่วนของสไลด์โดยระนาบแนวตั้งที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลของเด็กซนและสไลด์ที่เคลื่อนย้ายได้มีรูปแบบดังแสดงในรูป ความสูงสูงสุดคือเท่าไร เอ็กซ์เด็กซนสามารถปีนขึ้นไปบนสไลเดอร์ที่อยู่นิ่งหลังจากที่มันเลื่อนออกจากสไลเดอร์ที่กำลังเคลื่อนที่เป็นครั้งแรกได้หรือไม่?

สารละลาย.สไลด์ที่เด็กซนอยู่เดิมนั้นอยู่ในสภาพของปัญหาไม่เคลื่อนไหวและยึดติดกับพื้นอย่างแน่นหนาตามเงื่อนไขของปัญหา ตามปกติในการแก้ปัญหาดังกล่าว หากเราคำนึงถึงเฉพาะแรงปฏิสัมพันธ์ระหว่างเด็กซนกับสไลด์และแรงโน้มถ่วง ปัญหาที่เกิดขึ้นสามารถแก้ไขได้โดยใช้กฎการอนุรักษ์พลังงานกลและโมเมนตัม ระบบอ้างอิงในห้องปฏิบัติการ ดังที่ได้กล่าวไว้แล้วในการแก้ปัญหาก่อนหน้านี้ (ดู "วิทยาศาสตร์และชีวิต" ลำดับที่) ถือได้ว่าเป็นระบบเฉื่อย เราจะแบ่งวิธีแก้ปัญหาออกเป็นสามขั้นตอน ในระยะแรก เด็กซนจะเริ่มเลื่อนจากสไลด์ที่อยู่กับที่ ในวินาทีที่มันโต้ตอบกับสไลด์ที่เคลื่อนย้ายได้ และในที่สุด มันก็จะลอยขึ้นจากสไลด์ที่อยู่กับที่ จากเงื่อนไขของปัญหาและสมมติฐานที่เกิดขึ้น เป็นไปตามว่าเด็กซนและสไลด์ที่เคลื่อนย้ายได้สามารถเคลื่อนที่แบบแปลนได้เท่านั้น เพื่อให้จุดศูนย์กลางมวลยังคงอยู่ในระนาบแนวตั้งเดียวกันเสมอ

เมื่อคำนึงถึงสิ่งข้างต้นและความจริงที่ว่าเด็กซนนั้นราบรื่น ระบบ "โลกที่มีสไลด์นิ่ง - เด็กซน" ในระยะแรกควรได้รับการพิจารณาให้แยกจากกันและอนุรักษ์นิยม ดังนั้นตามกฎการอนุรักษ์พลังงานกลพลังงานจลน์ของเครื่องซักผ้า วเค = MV 1 2 /2 เมื่อเคลื่อนที่ไปตามระนาบแนวนอนหลังจากเลื่อนลงเนินแล้วควรจะเท่ากับ มก, ที่ไหน ก- ขนาดความเร่งของการตกอย่างอิสระ

ในช่วงระยะที่สอง เด็กซนจะเริ่มลอยขึ้นไปตามสไลด์ที่กำลังเคลื่อนที่ จากนั้นเมื่อถึงระดับความสูงที่กำหนดแล้ว ให้เลื่อนออกจากมัน คำสั่งนี้ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าอันเป็นผลมาจากปฏิสัมพันธ์ของเด็กซนกับสไลด์ที่เคลื่อนย้ายได้อย่างหลังดังที่ได้กล่าวไปแล้วเมื่อสิ้นสุดสเตจที่สองจะต้องเคลื่อนที่ไปข้างหน้าด้วยความเร็วที่แน่นอน คุณโดยเคลื่อนตัวออกห่างจากสไลด์นิ่งนั่นคือไปในทิศทางความเร็ว โวลต์ 1 เด็กซนในตอนท้ายของขั้นตอนแรก ดังนั้นแม้ว่าความสูงของสไลด์ที่เคลื่อนย้ายได้จะเท่ากันก็ตาม ชม.เด็กซนจะไม่สามารถผ่านมันไปได้ เมื่อพิจารณาว่าแรงปฏิกิริยาจากระนาบแนวนอนบนสไลด์ที่กำลังเคลื่อนที่ตลอดจนแรงโน้มถ่วงที่กระทำต่อสไลด์นี้และลูกซนนั้นถูกชี้นำในแนวตั้งตามกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม จึงสามารถโต้แย้งได้ว่าการฉายภาพ โวลต์ความเร็วเด็กซน 2 ระดับเมื่อสิ้นสุดสเตจที่สองต่อทิศทางความเร็ว โวลต์ 1 ลูกที่ท้ายสเตจแรกต้องเป็นไปตามสมการ

mυ 1 = mυ 2 + M และ (1)

ในทางกลับกัน ตามกฎการอนุรักษ์พลังงานกล ความเร็วเหล่านี้สัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์

, (2)

เนื่องจากระบบ "โลก - สไลด์ที่เคลื่อนที่ - เด็กซน" กลายเป็นระบบที่แยกได้และอนุรักษ์นิยมภายใต้สมมติฐานที่ทำขึ้นและพลังงานศักย์ของมันที่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของระยะที่สองก็เหมือนกัน เมื่อพิจารณาว่าหลังจากโต้ตอบกับสไลด์ที่กำลังเคลื่อนที่ ความเร็วของเด็กซนในกรณีทั่วไปควรเปลี่ยนแปลง ( โวลต์ 1 - โวลต์ 2 ≠ 0) และใช้สูตรสำหรับผลต่างของกำลังสองของปริมาณสองจำนวนจากความสัมพันธ์ (1) และ (2) ที่เราได้รับ

υ 1 + υ 2 = และ (3)

จากนั้นจาก (3) และ (1) เราจะกำหนดการฉายภาพความเร็วของเด็กซนที่ส่วนท้ายของสเตจที่สองไปยังทิศทางของความเร็วก่อนที่จะเริ่มโต้ตอบกับสไลด์ที่กำลังเคลื่อนที่

จากความสัมพันธ์ (4) จะได้ว่า โวลต์ 1 ≠ โวลต์ 2 ณ ม≠ มและเด็กซนจะเคลื่อนที่ไปยังสไลด์นิ่งหลังจากเลื่อนออกจากสไลด์ที่เคลื่อนย้ายได้ก็ต่อเมื่อ ม< ม.

เมื่อใช้กฎการอนุรักษ์พลังงานกลอีกครั้งสำหรับระบบ "โลกที่มีสไลด์นิ่ง - เด็กซน" เราจะกำหนดความสูงสูงสุดของเด็กซนที่ยกไปตามสไลด์นิ่ง เอ็กซ์ =โวลต์ 2 2 /2ก- หลังจากการแปลงพีชคณิตอย่างง่าย คำตอบสุดท้ายสามารถแสดงเป็น

ปัญหาที่ 5(1996) ก้อนมวลเรียบที่วางอยู่บนระนาบแนวนอน มติดกับผนังแนวตั้งพร้อมสปริงทำให้แข็งตัวเบา เค- เมื่อใช้สปริงที่ไม่มีรูปทรง ปลายบล็อกจะสัมผัสกับหน้าของลูกบาศก์ซึ่งก็คือมวล มซึ่งมีน้อยมาก ม.แกนของสปริงอยู่ในแนวนอนและอยู่ในระนาบแนวตั้งที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลของลูกบาศก์และบล็อก โดยการเคลื่อนย้ายบล็อก สปริงจะถูกบีบอัดตามแนวแกนด้วยจำนวน ∆ xหลังจากนั้นบล็อกจะถูกปล่อยโดยไม่มีความเร็วเริ่มต้น ลูกบาศก์จะเคลื่อนที่ไปไกลแค่ไหนหลังจากการกระแทกแบบยืดหยุ่นในอุดมคติ ถ้าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานของลูกบาศก์บนระนาบมีค่าน้อยและเท่ากับ µ

สารละลาย.เราจะถือว่าเป็นไปตามสมมติฐานมาตรฐาน: กรอบอ้างอิงของห้องปฏิบัติการซึ่งสัมพันธ์กับวัตถุทั้งหมดที่อยู่นิ่งในตอนแรกนั้นเป็นแรงเฉื่อย และวัตถุที่อยู่ระหว่างการพิจารณาจะได้รับผลกระทบจากแรงปฏิสัมพันธ์ระหว่างพวกมันกับแรงโน้มถ่วงเท่านั้น และนอกจากนี้ ระนาบสัมผัสระหว่างบล็อกกับลูกบาศก์ยังตั้งฉากกับแกนของสปริง จากนั้น เมื่อคำนึงถึงตำแหน่งของแกนสปริงและจุดศูนย์กลางมวลของบล็อกและลูกบาศก์ที่ระบุในเงื่อนไข เราสามารถสรุปได้ว่าวัตถุเหล่านี้สามารถเคลื่อนที่ในเชิงแปลเท่านั้น

หลังจากปล่อย บล็อกจะเริ่มเคลื่อนที่ภายใต้การกระทำของสปริงอัด ในขณะที่บล็อกสัมผัสกับลูกบาศก์ สปริงควรจะไม่มีรูปทรงตามเงื่อนไขของปัญหา เนื่องจากบล็อกมีความเรียบและเคลื่อนที่ไปตามระนาบแนวนอน แรงโน้มถ่วงและปฏิกิริยาของระนาบจึงไม่ทำงาน ตามเงื่อนไข มวลของสปริง (และพลังงานจลน์ของชิ้นส่วนที่เคลื่อนไหวด้วย) อาจถูกละเลยได้ ดังนั้น พลังงานจลน์ของบล็อกที่เคลื่อนที่ในเชิงแปล ณ เวลาที่มันสัมผัสกับลูกบาศก์ควรจะเท่ากับพลังงานศักย์ของสปริงในขณะที่บล็อกถูกปล่อย และดังนั้น ความเร็วของบล็อก ณ เวลานี้จึงควรเท่ากับ

เมื่อบล็อกสัมผัสกับลูกบาศก์ พวกมันจะชนกัน ในกรณีนี้ แรงเสียดทานที่กระทำต่อลูกบาศก์จะแปรผันจากศูนย์ถึง m มก, ที่ไหน ก- ขนาดความเร่งของการตกอย่างอิสระ สมมติตามปกติว่าเวลาการชนกันระหว่างบล็อกกับลูกบาศก์นั้นสั้น เราสามารถละเลยแรงกระตุ้นของแรงเสียดทานที่กระทำต่อลูกบาศก์จากด้านข้างของระนาบได้ เมื่อเปรียบเทียบกับแรงกระตุ้นของแรงที่กระทำต่อลูกบาศก์จาก ด้านข้างของบล็อกระหว่างการกระแทก เนื่องจากการกระจัดของบล็อกในระหว่างการกระแทกมีน้อย และในขณะที่สัมผัสกับลูกบาศก์ สปริงจะไม่เปลี่ยนรูปตามเงื่อนไขของปัญหา เราจึงถือว่าสปริงไม่กระทำต่อบล็อกระหว่างการชน . ดังนั้นจึงสามารถถือว่าระบบ "บล็อกคิวบ์" ปิดระหว่างการชนได้ จากนั้นตามกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม ความสัมพันธ์จะต้องเป็นไปตามนั้น

มโวลต์= ม คุณ + มคุณ (1)

ที่ไหน คุณและ คุณ- ตามลำดับ ความเร็วของบล็อกและลูกบาศก์ทันทีหลังจากการชน งานที่ทำโดยแรงโน้มถ่วงและองค์ประกอบปกติของแรงปฏิกิริยาของระนาบที่กระทำต่อลูกบาศก์และบล็อกมีค่าเท่ากับศูนย์ (แรงเหล่านี้ตั้งฉากกับการกระจัดที่เป็นไปได้) ผลกระทบของบล็อกบนลูกบาศก์คือ มีความยืดหยุ่นในอุดมคติ และเนื่องจากการชนกันในช่วงเวลาสั้น ๆ การกระจัดของลูกบาศก์และบล็อก (รวมถึงแรงเสียดทานของงานและการเสียรูปของสปริง) จึงสามารถละเลยได้ ดังนั้นพลังงานกลของระบบที่พิจารณาจะต้องไม่เปลี่ยนแปลงและความเท่าเทียมกันยังคงอยู่

ม υ 2 /2 = หมู่ 2 /2 + ไมล์ 2 /2 (2)

โดยพิจารณาจาก (1) ความเร็วของบล็อก คุณแล้วแทนมันลงใน (2) เราจะได้ 2 มวู=(ม+ม)คุณ 2 และเนื่องจากตามเงื่อนไขของปัญหา ม << มจากนั้น 2 วู=คุณ 2. จากตรงนี้ เมื่อคำนึงถึงทิศทางการเคลื่อนที่ที่เป็นไปได้ ตามมาว่าหลังจากการชนแล้ว ลูกบาศก์จะได้ความเร็วซึ่งมีค่าเป็น

(3)

และความเร็วของบล็อกจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลงและเท่ากัน โวลต์- ดังนั้น หลังจากการชน ความเร็วของลูกบาศก์ควรเป็นสองเท่าของความเร็วของบล็อก ดังนั้น หลังจากการกระแทกลูกบาศก์ในทิศทางแนวนอนจนกระทั่งหยุด จะมีเพียงแรงเสียดทานแบบเลื่อน μ เท่านั้นที่กระทำ มกดังนั้น ลูกบาศก์จะเคลื่อนที่ช้าเท่าๆ กันด้วยความเร่ง µ ก- หลังจากการชน บล็อกจะได้รับผลกระทบในแนวนอนโดยแรงยืดหยุ่นของสปริงเท่านั้น (บล็อกจะเรียบ) ดังนั้น ความเร็วของบล็อกจะเปลี่ยนไปตามกฎฮาร์มอนิก และในขณะที่ลูกบาศก์กำลังเคลื่อนที่ บล็อกจะอยู่ข้างหน้าบล็อก จากที่กล่าวมาข้างต้น บล็อกจากตำแหน่งสมดุลสามารถเคลื่อนที่ได้ระยะทาง ∆ เอ็กซ์- หากค่าสัมประสิทธิ์การเสียดสี μ มีค่าน้อยพอ บล็อกจะไม่ชนกับลูกบาศก์อีก ดังนั้น การกระจัดของลูกบาศก์ที่ต้องการจึงควรเป็น

ล = และ 2 / 2ไมโครกรัม = 2 เค(∆x)2/ไมโคร มก.

เปรียบเทียบระยะนี้กับ ∆ เอ็กซ์เราพบว่าคำตอบที่ให้มานั้นถูกต้องสำหรับ μ ≤ 2 เค ∆x/ มก

ปัญหาที่ 6(2000). บนขอบของกระดานที่วางอยู่บนระนาบแนวนอนเรียบให้วางเครื่องซักผ้าขนาดเล็กซึ่งมีมวลอยู่ เคน้อยกว่ามวลของกระดานเท่าตัว ด้วยการคลิก เด็กซนจะได้รับความเร็วไปที่กึ่งกลางกระดาน หากความเร็วมากกว่านี้ คุณจากนั้นเด็กซนก็เลื่อนออกจากกระดาน ถ้าความเร็วของลูกซน กระดานจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเท่าใด nมากขึ้นครั้ง คุณ (n> 1)?

สารละลาย.เมื่อแก้ไขปัญหา ตามปกติ เราจะละเลยอิทธิพลของอากาศและถือว่าหน้าต่างอ้างอิงที่เกี่ยวข้องกับตารางนั้นเป็นแรงเฉื่อย และเด็กซนจะเคลื่อนที่ในเชิงแปลหลังจากการชน โปรดทราบว่าสิ่งนี้จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อแนวการออกแรงของแรงกระตุ้นภายนอกและจุดศูนย์กลางมวลของลูกซนอยู่ในระนาบแนวตั้งเดียวกัน เนื่องจากตามเงื่อนไขของปัญหา เด็กซนที่ความเร็วเริ่มต้นน้อยกว่า คุณไม่เลื่อนออกจากบอร์ดจำเป็นต้องถือว่าเมื่อเครื่องซักผ้าเลื่อนไปตามกระดานแรงเสียดทานจะกระทำระหว่างกัน เมื่อพิจารณาว่าหลังจากการคลิก เด็กซนจะเคลื่อนไปตามกระดานไปยังจุดศูนย์กลาง และแรงเสียดทานของการเลื่อนนั้นสวนทางกับความเร็ว จึงสามารถโต้แย้งได้ว่ากระดานควรเริ่มเคลื่อนที่ไปข้างหน้าไปตามโต๊ะ จากที่กล่าวไปข้างต้นและกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม (เนื่องจากกระดานอยู่บนระนาบแนวนอนเรียบ) เป็นไปตามความเร็วของลูกยางทันทีหลังจากการคลิก คุณ w ความเร็วของมัน โวลต์ w และความเร็วของบอร์ด วี d ในขณะที่ลื่นไถล เครื่องซักผ้าจะต้องเป็นไปตามความสัมพันธ์

มคุณว = ม วีดี + มโวลต์ด้วย,(1)

ที่ไหน ม- มวลของเครื่องซักผ้า และ ม- มวลของกระดานถ้า คุณว > คุณ- ถ้า คุณว ≤ คุณจากนั้นตามเงื่อนไขของปัญหา เด็กซนจะไม่เลื่อนออกจากกระดาน ดังนั้น หลังจากผ่านไปนานพอสมควร ความเร็วของกระดานและเด็กซนควรจะเท่ากัน สมมติว่าตามปกติขนาดของแรงเสียดทานแบบเลื่อนแห้งจะไม่ขึ้นอยู่กับความเร็วโดยละเลยขนาดของเครื่องซักผ้าและคำนึงถึงการเคลื่อนที่ของเครื่องซักผ้าที่สัมพันธ์กับกระดานในขณะที่เลื่อนไม่ได้ขึ้นอยู่กับเริ่มต้น ความเร็วโดยคำนึงถึงสิ่งที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้และตามกฎแห่งการเปลี่ยนแปลงพลังงานกลเราสามารถระบุได้ คุณว ≥ คุณ

หมู่ส 2/2 = เอ็มวีวัน 2/2 + มυ w 2 / 2 + A,(2)

ที่ไหน ก- ทำงานต้านแรงเสียดทานและด้วย คุณว > คุณ วีง< โวลต์ w และที่ คุณว = คุณ วีง = โวลต์ว. โดยพิจารณาตามเงื่อนไขแล้ว ม/ม=เค, จาก (1) และ (2) ณ คุณว = คุณหลังจากการแปลงพีชคณิตที่เราได้รับ

และตั้งแต่เมื่อไหร่ คุณว = นู๋จาก (1) เป็นไปตามนั้น

คุณ 2 = n 2 และ 2 + เค 2 โวลต์ 2 - 2 นิกิวี ดี (4)

ความเร็วที่ต้องการของบอร์ดจะต้องเป็นไปตามสมการ

เค(เค + 1) วีวันที่ 2 - 2 nk และวีดี + คิ 2 /(เค + 1) = 0. (5)

เห็นได้ชัดว่าเมื่อ n→∞ เวลาปฏิสัมพันธ์ระหว่างเด็กซนกับกระดานควรมีแนวโน้มเป็นศูนย์ ดังนั้น ความเร็วที่ต้องการของกระดานจะเพิ่มขึ้นเมื่อเพิ่มขึ้น n(หลังจากเกินค่าวิกฤตที่กำหนด) ควรลดลง (ในขีดจำกัดเป็นศูนย์) ดังนั้น จากสองวิธีที่เป็นไปได้ของสมการ (5) เงื่อนไขของปัญหาจึงเป็นไปตาม

การสั่นสะเทือนฟรีจะดำเนินการภายใต้อิทธิพลของแรงภายในของระบบหลังจากที่ระบบถูกถอดออกจากตำแหน่งสมดุลแล้ว

เพื่อการสั่นสะเทือนอิสระเกิดขึ้นตามกฎฮาร์มอนิก จำเป็นที่แรงที่โน้มน้าวให้ร่างกายกลับสู่ตำแหน่งสมดุลนั้นจะต้องเป็นสัดส่วนกับการกระจัดของร่างกายจากตำแหน่งสมดุล และมุ่งไปในทิศทางตรงกันข้ามกับการกระจัด (ดู§2.1 ):

เรียกว่าพลังที่มีลักษณะทางกายภาพอื่นใดที่ตรงตามเงื่อนไขนี้ กึ่งยืดหยุ่น .

จึงมีมวลจำนวนหนึ่ง มติดกับสปริงทำให้แข็งทื่อ เคปลายที่สองได้รับการแก้ไขอย่างถาวร (รูปที่ 2.2.1) เป็นระบบที่สามารถทำการสั่นฮาร์มอนิกอิสระในกรณีที่ไม่มีแรงเสียดทาน เรียกว่าโหลดบนสปริง ฮาร์มอนิกเชิงเส้น ออสซิลเลเตอร์.

ความถี่วงกลม ω 0 ของการแกว่งอย่างอิสระของโหลดบนสปริงหาได้จากกฎข้อที่สองของนิวตัน:

เมื่อระบบสปริงโหลดอยู่ในแนวนอน แรงโน้มถ่วงที่ใช้กับโหลดจะถูกชดเชยด้วยแรงปฏิกิริยารองรับ ถ้าโหลดถูกแขวนไว้บนสปริง แรงโน้มถ่วงจะพุ่งไปตามแนวการเคลื่อนที่ของโหลด ในตำแหน่งสมดุล สปริงจะถูกยืดออกด้วยจำนวนหนึ่ง x 0 เท่ากัน

ดังนั้นกฎข้อที่สองของนิวตันสำหรับภาระบนสปริงจึงสามารถเขียนได้เป็น

เรียกว่าสมการ (*) สมการของการสั่นสะเทือนอิสระ - ก็ควรสังเกตว่า คุณสมบัติทางกายภาพระบบสั่น กำหนดเฉพาะความถี่ธรรมชาติของการแกว่ง ω 0 หรือคาบ ต - พารามิเตอร์ของกระบวนการออสซิลเลชัน เช่น แอมพลิจูด x m และเฟสเริ่มต้น φ 0 ถูกกำหนดโดยวิธีที่ระบบถูกนำออกจากสมดุลในช่วงเวลาเริ่มต้น

ตัวอย่างเช่น หากโหลดถูกแทนที่จากตำแหน่งสมดุลด้วยระยะทาง Δ ลและเมื่อถึงเวลาหนึ่ง ที= 0 ปล่อยโดยไม่มีความเร็วเริ่มต้นแล้ว xม. = Δ ล, φ 0 = 0.

หากโหลดซึ่งอยู่ในตำแหน่งสมดุลได้รับการแจ้งด้วยการกดอย่างแรง ความเร็วเริ่มต้น± υ 0 จากนั้น

ดังนั้นแอมพลิจูด x m การแกว่งอิสระ และเฟสเริ่มต้น φ 0 ถูกกำหนดไว้ เงื่อนไขเริ่มต้น .

มีระบบออสซิลลาทอรีทางกลหลายประเภทที่ใช้แรงการเปลี่ยนรูปแบบยืดหยุ่น ในรูป รูปที่ 2.2.2 แสดงอะนาล็อกเชิงมุมของออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกเชิงเส้น ดิสก์ที่อยู่ในแนวนอนจะแขวนอยู่บนด้ายยางยืดที่ติดอยู่กับจุดศูนย์กลางมวล เมื่อจานหมุนในมุม θ จะเกิดแรงชั่วครู่หนึ่ง มการควบคุมการเปลี่ยนรูปบิดแบบยืดหยุ่น:

ที่ไหน ฉัน = ฉัน C คือโมเมนต์ความเฉื่อยของจานเทียบกับแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวล ε คือความเร่งเชิงมุม

โดยการเปรียบเทียบกับโหลดบนสปริง คุณจะได้:

การสั่นสะเทือนฟรี ลูกตุ้มคณิตศาสตร์

ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์เรียกว่า ร่างเล็กๆ แขวนอยู่บนเส้นด้ายบางๆ ที่ยืดออกไม่ได้ ซึ่งมีมวลน้อยมากเมื่อเทียบกับมวลของร่างกาย. ในตำแหน่งสมดุล เมื่อลูกตุ้มแขวนลูกดิ่ง แรงโน้มถ่วงจะสมดุลด้วยแรงดึงของเส้นด้าย เมื่อลูกตุ้มเบี่ยงเบนไปจากตำแหน่งสมดุลในมุมหนึ่ง φ องค์ประกอบในวงสัมผัสของแรงโน้มถ่วงจะปรากฏขึ้น เอฟ τ = - มกบาป φ (รูปที่ 2.3.1) เครื่องหมายลบในสูตรนี้หมายความว่าองค์ประกอบในแนวสัมผัสมีทิศทางตรงกันข้ามกับการโก่งตัวของลูกตุ้ม

ถ้าเราแสดงโดย xการกระจัดเชิงเส้นของลูกตุ้มจากตำแหน่งสมดุลตามแนวส่วนโค้งของวงกลมรัศมี ลจากนั้นการกระจัดเชิงมุมของมันจะเท่ากับ φ = x / ล- กฎข้อที่สองของนิวตันเขียนขึ้นสำหรับการฉายเวกเตอร์ความเร่งและแรงที่เข้าสู่ทิศทางของเส้นสัมผัสกัน ให้:

ความสัมพันธ์นี้แสดงให้เห็นว่าลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์มีความซับซ้อน ไม่เชิงเส้นระบบ เนื่องจากแรงที่โน้มน้าวให้ลูกตุ้มกลับสู่ตำแหน่งสมดุลนั้นไม่เป็นสัดส่วนกับการกระจัด x, ก

เฉพาะในกรณีเท่านั้น ความผันผวนเล็กน้อยเมื่อประมาณสามารถแทนที่ได้ด้วยลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ซึ่งเป็นออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิก กล่าวคือ ระบบที่สามารถทำการออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกได้ ในทางปฏิบัติ การประมาณนี้ใช้ได้สำหรับมุมลำดับ 15-20°; ในกรณีนี้ค่าจะต่างกันไม่เกิน 2% การแกว่งของลูกตุ้มที่แอมพลิจูดขนาดใหญ่ไม่ฮาร์มอนิก

สำหรับการแกว่งเล็กน้อยของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ กฎข้อที่สองของนิวตันจะถูกเขียนในรูปแบบ

สูตรนี้แสดงออกถึง ความถี่ธรรมชาติของการสั่นเล็กน้อยของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ .

เพราะฉะนั้น,

วัตถุใดๆ ที่ติดตั้งบนแกนหมุนแนวนอนสามารถแกว่งอย่างอิสระในสนามโน้มถ่วงได้ และดังนั้นจึงเป็นลูกตุ้มด้วย ลูกตุ้มดังกล่าวมักเรียกว่า ทางกายภาพ (รูปที่ 2.3.2) มันแตกต่างจากคณิตศาสตร์เพียงในเรื่องการกระจายตัวของมวลเท่านั้น ในตำแหน่งสมดุลที่มั่นคงซึ่งเป็นศูนย์กลางมวล คลูกตุ้มทางกายภาพอยู่ใต้แกนหมุน O บนแนวตั้งที่ผ่านแกน เมื่อลูกตุ้มถูกเบี่ยงเบนไปในมุม φ โมเมนต์ของแรงโน้มถ่วงจะเกิดขึ้น โดยมีแนวโน้มที่จะทำให้ลูกตุ้มกลับสู่ตำแหน่งสมดุล:

และกฎข้อที่สองของนิวตันสำหรับลูกตุ้มทางกายภาพมีรูปแบบ (ดู §1.23)

ที่นี่ ω 0 - ความถี่ธรรมชาติของการสั่นเล็กน้อยของลูกตุ้มทางกายภาพ .

เพราะฉะนั้น,

ดังนั้นสมการที่แสดงกฎข้อที่สองของนิวตันสำหรับลูกตุ้มเชิงฟิสิกส์สามารถเขียนได้ในรูปแบบ

ในที่สุด สำหรับความถี่วงกลม ω 0 ของการแกว่งอิสระของลูกตุ้มทางกายภาพ จะได้นิพจน์ต่อไปนี้:

การแปลงพลังงานระหว่างการสั่นสะเทือนทางกลอิสระ

ในระหว่างการสั่นสะเทือนทางกลอย่างอิสระ พลังงานจลน์และพลังงานศักย์จะเปลี่ยนแปลงเป็นระยะ เมื่อวัตถุเบี่ยงเบนไปจากตำแหน่งสมดุล ความเร็วและพลังงานจลน์ของวัตถุก็จะหายไป ในตำแหน่งนี้ พลังงานศักย์ของตัวสั่นจะถึงค่าสูงสุด สำหรับภาระบนสปริง พลังงานศักย์คือพลังงานของการเสียรูปยืดหยุ่นของสปริง สำหรับลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ นี่คือพลังงานในสนามโน้มถ่วงของโลก

เมื่อวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่ผ่านตำแหน่งสมดุล ความเร็วของวัตถุจะสูงสุด ร่างกายอยู่เหนือตำแหน่งสมดุลตามกฎความเฉื่อย ในขณะนี้ มันมีพลังงานจลน์สูงสุดและพลังงานศักย์ต่ำสุด พลังงานจลน์ที่เพิ่มขึ้นเกิดขึ้นเนื่องจากพลังงานศักย์ลดลง เมื่อมีการเคลื่อนไหวต่อไป พลังงานศักย์จะเริ่มเพิ่มขึ้นเนื่องจากพลังงานจลน์ลดลง เป็นต้น

ดังนั้นในระหว่างการสั่นของฮาร์มอนิกจะเกิดการเปลี่ยนแปลงเป็นระยะของพลังงานจลน์เป็นพลังงานศักย์และในทางกลับกัน

หากไม่มีแรงเสียดทานในระบบออสซิลเลชัน พลังงานกลทั้งหมดระหว่างการแกว่งอิสระจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

สำหรับการรับน้ำหนักแบบสปริง(ดู§2.2):

ในสภาวะจริง ระบบออสซิลเลเตอร์ใดๆ จะอยู่ภายใต้อิทธิพลของแรงเสียดทาน (แนวต้าน) ในกรณีนี้พลังงานกลส่วนหนึ่งจะถูกแปลงเป็นพลังงานภายในของการเคลื่อนที่ด้วยความร้อนของอะตอมและโมเลกุล และการสั่นสะเทือนจะเกิดขึ้น ซีดจาง (รูปที่ 2.4.2)

อัตราการสลายตัวของการสั่นสะเทือนขึ้นอยู่กับขนาดของแรงเสียดทาน ช่วงเวลา τ ในระหว่างที่แอมพลิจูดของการแกว่งลดลง จเท่ากับ 2.7 เท่า เรียกว่า เวลาสลายตัว .

ความถี่ของการแกว่งอิสระขึ้นอยู่กับอัตราที่การแกว่งลดลง เมื่อแรงเสียดทานเพิ่มขึ้น ความถี่ธรรมชาติจะลดลง อย่างไรก็ตาม การเปลี่ยนแปลงของความถี่ธรรมชาติจะสังเกตเห็นได้เฉพาะเมื่อมีแรงเสียดทานขนาดใหญ่เพียงพอเท่านั้น เมื่อการสั่นสะเทือนตามธรรมชาติสลายตัวอย่างรวดเร็ว

คุณลักษณะที่สำคัญของระบบออสซิลเลเตอร์ที่ทำการสั่นแบบหน่วงอิสระคือ ปัจจัยด้านคุณภาพ ถาม- พารามิเตอร์นี้ถูกกำหนดให้เป็นตัวเลข เอ็นการสั่นทั้งหมดที่ระบบทำในช่วงเวลาหน่วง τ คูณด้วย π:

ดังนั้นปัจจัยด้านคุณภาพจึงระบุถึงการสูญเสียพลังงานสัมพัทธ์ในระบบออสซิลเลเตอร์เนื่องจากมีแรงเสียดทานในช่วงเวลาหนึ่งเท่ากับช่วงการสั่นหนึ่งช่วง

แรงสั่นสะเทือนที่ถูกบังคับ เสียงก้อง. การสั่นด้วยตนเอง

การสั่นที่เกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของแรงคาบภายนอกเรียกว่า ถูกบังคับ.

แรงภายนอกทำงานเชิงบวกและให้พลังงานไหลเวียนไปยังระบบออสซิลลาทอรี ไม่อนุญาตให้การสั่นสะเทือนหายไปแม้ว่าจะมีแรงเสียดทานก็ตาม

แรงภายนอกเป็นระยะสามารถเปลี่ยนแปลงได้ตลอดเวลาตามกฎหมายต่างๆ สิ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือกรณีที่แรงภายนอกซึ่งแปรผันไปตามกฎฮาร์มอนิกที่มีความถี่ ω กระทำต่อระบบออสซิลเลชันที่สามารถทำการสั่นของมันเองที่ความถี่ที่แน่นอน ω 0

หากการแกว่งอิสระเกิดขึ้นที่ความถี่ ω 0 ซึ่งถูกกำหนดโดยพารามิเตอร์ของระบบ การสั่นแบบบังคับคงที่จะเกิดขึ้นเสมอที่ ความถี่ ω แรงภายนอก.

หลังจากที่แรงภายนอกเริ่มกระทำต่อระบบออสซิลเลทอรี ช่วงเวลาหนึ่ง Δ ทีเพื่อสร้างแรงสั่นสะเทือนแบบบังคับ เวลาก่อตัวตามลำดับความสำคัญ เท่ากับเวลาหน่วง τ ของการแกว่งอิสระในระบบออสซิลเลชัน

ในช่วงเวลาเริ่มต้น กระบวนการทั้งสองจะตื่นเต้นในระบบออสซิลเลชัน - การสั่นแบบบังคับที่ความถี่ ω และการสั่นอิสระที่ความถี่ธรรมชาติ ω 0 แต่การสั่นสะเทือนอิสระจะถูกทำให้หมาด ๆ เนื่องจากมีแรงเสียดทานอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ ดังนั้น หลังจากผ่านไประยะหนึ่ง มีเพียงการแกว่งคงที่ที่ความถี่ ω ของแรงขับเคลื่อนภายนอกเท่านั้นที่ยังคงอยู่ในระบบการสั่น

ลองพิจารณาตัวอย่างการบังคับการสั่นของวัตถุบนสปริง (รูปที่ 2.5.1) แรงภายนอกถูกนำไปใช้กับปลายสปริงที่ว่าง โดยบังคับให้ปลายสปริงอิสระ (ซ้ายในรูปที่ 2.5.1) เคลื่อนที่ตามกฎหมาย

หากปลายด้านซ้ายของสปริงถูกแทนที่ด้วยระยะห่าง ยและอันที่ถูกต้อง - สู่ระยะไกล xจากตำแหน่งเดิม เมื่อสปริงไม่มีรูปทรง จากนั้นจึงเกิดการยืดตัวของสปริง Δ ลเท่ากับ:

ในสมการนี้ แรงที่กระทำต่อวัตถุจะแสดงเป็นสองพจน์ ระยะแรกทางด้านขวาคือแรงยืดหยุ่นที่มีแนวโน้มทำให้ร่างกายกลับสู่ตำแหน่งสมดุล ( x= 0) ระยะที่สองคือผลกระทบภายนอกเป็นระยะต่อร่างกาย คำนี้เรียกว่า กำลังบีบบังคับ.

สมการที่แสดงกฎข้อที่สองของนิวตันสำหรับวัตถุบนสปริงโดยมีอิทธิพลจากคาบภายนอกสามารถกำหนดรูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดได้หากเราคำนึงถึงความสัมพันธ์ระหว่างความเร่งของร่างกายกับพิกัดของมัน: จากนั้น จะถูกเขียนในรูปแบบ

สมการ (**) ไม่ได้คำนึงถึงการกระทำของแรงเสียดทาน ไม่เหมือน สมการของการสั่นสะเทือนอิสระ(*) (ดู§2.2) สมการการสั่นแบบบังคับ(**) มีสองความถี่ - ความถี่ ω 0 ของการแกว่งอิสระ และความถี่ ω ของแรงผลักดัน

การสั่นบังคับในสภาวะคงตัวของโหลดบนสปริงเกิดขึ้นที่ความถี่ของอิทธิพลภายนอกตามกฎหมาย

x(ที) = xเอ็มคอส(ω ที + θ).

แอมพลิจูดของการสั่นแบบบังคับ x m และเฟสเริ่มต้น θ ขึ้นอยู่กับอัตราส่วนของความถี่ ω 0 และ ω และบนแอมพลิจูด ยม. แรงภายนอก

ที่ความถี่ต่ำมาก เมื่อ ω<< ω 0 , движение тела массой มติดกับปลายด้านขวาของสปริง ทำซ้ำการเคลื่อนที่ของปลายด้านซ้ายของสปริง ในเวลาเดียวกัน x(ที) = ย(ที) และสปริงก็ยังไม่มีการเปลี่ยนแปลงรูปร่างเลย แรงภายนอกที่กระทำที่ปลายด้านซ้ายของสปริงจะไม่ทำงานใดๆ เนื่องจากโมดูลัสของแรงนี้ที่ ω<< ω 0 стремится к нулю.

หากความถี่ ω ของแรงภายนอกเข้าใกล้ความถี่ธรรมชาติ ω 0 แอมพลิจูดของการสั่นแบบบังคับจะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว ปรากฏการณ์นี้เรียกว่า เสียงก้อง - การพึ่งพาอาศัยกันของแอมพลิจูด x m การสั่นแบบบังคับจากความถี่ ω ของแรงผลักดันเรียกว่า ลักษณะเรโซแนนซ์หรือ เส้นโค้งเรโซแนนซ์(รูปที่ 2.5.2)

เมื่อมีเสียงสะท้อน แอมพลิจูด x m การแกว่งของโหลดอาจมากกว่าแอมพลิจูดหลายเท่า ย m การสั่นสะเทือนของปลายสปริงอิสระ (ซ้าย) ที่เกิดจากอิทธิพลภายนอก ในกรณีที่ไม่มีแรงเสียดทาน แอมพลิจูดของการสั่นแบบบังคับในระหว่างการสั่นพ้องควรเพิ่มขึ้นโดยไม่มีขีดจำกัด ในสภาวะจริง แอมพลิจูดของการสั่นแบบบังคับในสภาวะคงตัวถูกกำหนดโดยเงื่อนไข: งานของแรงภายนอกในช่วงระยะเวลาการสั่นจะต้องเท่ากับการสูญเสียพลังงานกลในช่วงเวลาเดียวกันเนื่องจากแรงเสียดทาน แรงเสียดทานน้อยลง (เช่น ปัจจัยด้านคุณภาพก็จะยิ่งสูงขึ้น ถามระบบการสั่น) ยิ่งแอมพลิจูดของการสั่นแบบบังคับที่เสียงสะท้อนยิ่งมากขึ้นเท่านั้น

ในระบบออสซิลเลเตอร์ที่มีปัจจัยคุณภาพไม่สูงมาก (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис. 2.5.2.

ปรากฏการณ์การสั่นพ้องสามารถนำไปสู่การทำลายสะพานอาคารและโครงสร้างอื่น ๆ ได้หากความถี่ธรรมชาติของการสั่นนั้นตรงกับความถี่ของแรงที่ออกฤทธิ์เป็นระยะ ๆ ซึ่งเกิดขึ้นเช่นเนื่องจากการหมุนของมอเตอร์ที่ไม่สมดุล

การบังคับแรงสั่นสะเทือนนั้น ไม่อับชื้นความผันผวน การสูญเสียพลังงานอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้อันเนื่องมาจากแรงเสียดทานจะได้รับการชดเชยโดยการจ่ายพลังงานจากแหล่งภายนอกของแรงที่ออกฤทธิ์เป็นระยะ มีระบบที่การสั่นแบบไม่หน่วงเกิดขึ้นไม่ได้เกิดจากอิทธิพลภายนอกเป็นระยะ แต่เป็นผลมาจากความสามารถของระบบดังกล่าวในการควบคุมการจัดหาพลังงานจากแหล่งคงที่ ระบบดังกล่าวเรียกว่า สั่นด้วยตนเองและกระบวนการของการแกว่งแบบไม่แดมป์ในระบบดังกล่าวก็คือ การสั่นด้วยตนเอง - ในระบบการสั่นด้วยตนเอง องค์ประกอบลักษณะเฉพาะสามประการสามารถแยกแยะได้ ได้แก่ ระบบการสั่น แหล่งพลังงาน และอุปกรณ์ป้อนกลับระหว่างระบบการสั่นและแหล่งกำเนิด ระบบกลไกใดๆ ที่สามารถทำออสซิลเลชั่นแบบหน่วงของตัวเองได้ (เช่น ลูกตุ้มของนาฬิกาแขวน) ก็สามารถนำมาใช้เป็นระบบออสซิลเลชั่นได้

แหล่งพลังงานอาจเป็นพลังงานการเปลี่ยนรูปของสปริงหรือพลังงานศักย์ของภาระในสนามโน้มถ่วง อุปกรณ์ป้อนกลับเป็นกลไกที่ระบบสั่นในตัวเองควบคุมการไหลของพลังงานจากแหล่งกำเนิด ในรูป 2.5.3 แสดงแผนภาพปฏิสัมพันธ์ขององค์ประกอบต่างๆ ของระบบสั่นตัวเอง

ตัวอย่างของระบบการสั่นด้วยตนเองทางกลคือกลไกนาฬิกาที่มี สมอความคืบหน้า (รูปที่ 2.5.4) ล้อวิ่งที่มีฟันเฉียงนั้นติดอยู่กับดรัมที่มีฟันอย่างแน่นหนาโดยจะมีการโยนโซ่ที่มีน้ำหนักไว้ ที่ปลายด้านบนของลูกตุ้มได้รับการแก้ไข สมอ(พุก) ด้วยวัสดุแข็งสองแผ่น โค้งงอเป็นวงกลมโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่บนแกนของลูกตุ้ม ในนาฬิกาไขลาน น้ำหนักจะถูกแทนที่ด้วยสปริง และลูกตุ้มจะถูกแทนที่ด้วยบาลานเซอร์ ซึ่งเป็นวงล้อจักรที่ติดอยู่กับสปริงเกลียว เครื่องถ่วงจะทำการสั่นสะเทือนแบบบิดรอบแกน ระบบการสั่นในนาฬิกาเป็นแบบลูกตุ้มหรือบาลานเซอร์

แหล่งที่มาของพลังงานคือการยกน้ำหนักหรือสปริงแผล อุปกรณ์ที่ใช้ป้อนกลับคือจุดยึดซึ่งช่วยให้วงล้อหมุนฟันหนึ่งซี่ในครึ่งรอบเดียว ข้อเสนอแนะได้มาจากปฏิสัมพันธ์ของพุกกับวงล้อที่กำลังวิ่ง ด้วยการสั่นของลูกตุ้มแต่ละครั้ง ฟันของล้อที่วิ่งจะดันส้อมสมอไปในทิศทางการเคลื่อนที่ของลูกตุ้ม โดยถ่ายโอนพลังงานบางส่วนไปซึ่งจะช่วยชดเชยการสูญเสียพลังงานเนื่องจากแรงเสียดทาน ดังนั้น พลังงานศักย์ของตุ้มน้ำหนัก (หรือสปริงบิด) จะค่อยๆ ถ่ายโอนไปยังลูกตุ้มโดยแยกส่วนกัน

ระบบการแกว่งตัวเองด้วยกลไกแพร่หลายในชีวิตรอบตัวเราและในเทคโนโลยี การแกว่งตัวเองเกิดขึ้นในเครื่องยนต์ไอน้ำ เครื่องยนต์สันดาปภายใน กระดิ่งไฟฟ้า สายเครื่องดนตรีที่โค้งคำนับ เสาอากาศในท่อของเครื่องลม สายเสียงเมื่อพูดหรือร้องเพลง ฯลฯ

รูปที่ 2.5.4. กลไกนาฬิกาพร้อมลูกตุ้ม