Теорема Вієта. Приклади рішення

Франсуа Вієт (1540-1603 рр.) – математика, творець знаменитих формул Вієта

Теорема Вієтанеобхідна швидкого розв'язання квадратних рівнянь (простими словами).

Якщо докладніше, то т еорема Вієта - це сума коренів даного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, який взятий з протилежним знаком, а твір дорівнює вільному члену. Ця властивість має будь-яке наведене квадратне рівняння, яке має коріння.

За допомогою теореми Вієта можна легко вирішувати квадратні рівняння шляхом підбору, тому скажемо "дякую" цьому математику з мечем у руках за наш щасливий 7 клас.

Доказ теореми Вієта

Щоб довести теорему, можна скористатися відомими формулами коренів, завдяки яким складемо суму та добуток коренів квадратного рівняння. Тільки після цього ми зможемо переконатись, що вони рівні і, відповідно, .

Допустимо, у нас є рівняння: . У цього рівняння є таке коріння: і . Доведемо, що , .

За формулами коренів квадратного рівняння:

1. Знайдемо суму коренів:

Розберемо це рівняння, як воно у нас вийшло саме таким:

= .

Крок 1. Наводимо дроби до спільного знаменника, виходить:

= = .

Крок 2. У нас вийшов дріб, де потрібно розкрити дужки:

Скорочуємо дріб на 2 і отримуємо:

Ми довели співвідношення для суми коренів квадратного рівняння з теореми Вієта.

2. Знайдемо твір коріння:

= = = = = .

Доведемо це рівняння:

Крок 1. Є правило множення дробів, яким ми і множимо дане рівняння:

Тепер згадуємо визначення квадратного кореняі вважаємо:

= .

Крок 3. Згадуємо дискримінант квадратного рівняння: . Тому в останній дріб замість D (дискримінанта) ми підставляємо, тоді виходить:

= .

Крок 4. Розкриваємо дужки і наводимо подібні доданки до дробу:

Крок 5. Скорочуємо «4a» та отримуємо .

Ось ми й довели співвідношення для коріння за теоремою Вієта.

ВАЖЛИВО!Якщо дискримінант дорівнює нулю, тоді квадратне рівняння має лише один корінь.

Теорема, зворотна теоремі Вієта

За теоремою, зворотною теоремою Вієта можна перевіряти, чи правильно вирішено наше рівняння. Щоб зрозуміти саму теорему, потрібно докладніше її розглянути.

Якщо числа такі:

І тоді вони і є корінням квадратного рівняння.

Доказ зворотної теореми Вієта

Крок 1Підставимо в рівняння вирази для його коефіцієнтів:

Крок 2Перетворимо ліву частину рівняння:

Крок 3. Знайдемо Корені рівняння, а для цього використовуємо властивість про рівність добутку нулю:

Або. Звідки і виходить: чи .

Приклади з рішеннями з теореми Вієта

Приклад 1

Завдання

Знайдіть суму, добуток і суму квадратів коренів квадратного рівняння, не знаходячи коренів рівняння.

Рішення

Крок 1. Згадаймо формулу дискримінанта. Підставляємо наші цифри під літери. Тобто, , – це замінює , а . Звідси випливає:

Виходить:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="170" style="vertical-align: -1px;">. Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма , а произведение . !}

Виразимо суму квадратів коренів через їх суму та добуток:

Відповідь

7; 12; 25.

Приклад 2

Завдання

Розв'яжіть рівняння. При цьому не застосовуйте формули квадратного рівняння.

Рішення

У цього рівняння є коріння, яке за дискримінантом (D) більше нуля. Відповідно, за теоремою Вієта сума коренів цього рівняння дорівнює 4, а добуток – 5. Спочатку визначаємо дільники числа, сума яких дорівнює 4. Це числа «5» та «-1». Їх добуток дорівнює – 5, а сума – 4. Значить, за теоремою, зворотною теоремою Вієта, вони є корінням даного рівняння.

Відповідь

І Приклад 4

Завдання

Складіть рівняння, кожен корінь якого вдвічі більший за відповідний корінь рівняння:

Рішення

За теоремою Вієта сума коренів даного рівняння дорівнює 12, а добуток = 7. Отже, два корені позитивні.

Сума коренів нового рівняння дорівнюватиме:

А твір.

По теоремі, зворотній теоремі Вієта, нове рівняння має вигляд:

Відповідь

Вийшло рівняння, кожен корінь якого вдвічі більше:

Отже, ми розглянули, як розв'язувати рівняння з допомогою теореми Вієта. Дуже зручно користуватися цією теоремою, якщо вирішуються завдання, пов'язані зі знаками коренів квадратних рівнянь. Тобто, якщо у формулі вільний член – число позитивне, і якщо у квадратному рівнянні є дійсне коріння, тоді вони обидва можуть бути або негативними, або позитивними.

А якщо вільний член – негативне число, і якщо у квадратному рівнянні є дійсне коріння, тоді обидва знаки будуть різними. Тобто, якщо один корінь позитивний, тоді інший корінь буде лише негативним.

Корисні джерела:

1. Дорофєєв Г. В., Суворова С. Б., Бунімович Є. А. Алгебра 8 клас: Москва "Освіта", 2016 - 318 с.
2. Рубін А. Г., Чулков П. В. - підручник Алгебра 8 клас: Москва "Баласс", 2015 - 237 с.
3. Нікольський С. М., Потопав М. К., Решетніков Н. Н., Шевкін А. В. - Алгебра 8 клас: Москва "Освіта", 2014 - 300

Теорема Вієта, зворотна формула Вієта та приклади з рішенням для чайниківоновлено: 22 листопада, 2019 автором: Статті.Ру

Теорема Вієта (точніше, теорема, обернена до теореми Вієта) дозволяє скоротити час на розв'язання квадратних рівнянь. Тільки треба вміти нею користуватися. Як навчитися вирішувати квадратні рівняння з теореми Вієта? Це нескладно, якщо трохи поміркувати.

Зараз ми говоритимемо лише про рішення з теореми Вієта наведеного квадратного рівняння. квадратне рівняння- Це рівняння, в якому a, тобто коефіцієнт перед x ², дорівнює одиниці. Не наведені квадратні рівняння вирішити за теоремою Вієта теж можна, але там уже, як мінімум, одне з коренів — не ціле число. Їх вгадувати складніше.

Теорема, обернена теоремі Вієта, говорить: якщо числа x1 і x2 такі, що

то x1 і x2 - коріння квадратного рівняння

При розв'язанні квадратного рівняння за теоремою Вієта можливі лише 4 варіанти. Якщо запам'ятати хід міркувань, знаходити ціле коріння можна навчитися дуже швидко.

I. Якщо q - позитивне число,

це означає, що коріння x1 та x2 — числа однакового знака (оскільки лише при множенні чисел з однаковими знаками виходить позитивне число).

І.а. Якщо -p - позитивне число, (відповідно, p<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Якщо -p - Негативне число, (відповідно, p>0), то обидва корені - негативні числа (складали числа одного знака, отримали негативне число).

ІІ. Якщо q - від'ємне число,

це означає, що коріння x1 і x2 мають різні знаки (при множенні чисел від'ємне число виходить лише у випадку, коли знаки у множників різні). У цьому випадку x1+x2 є вже не сумою, а різницею (адже при додаванні чисел з різними знакамими віднімаємо з більшого за модулем менше). Тому x1+x2 показує, на скільки одне відрізняється коріння x1 і x2, тобто, на скільки один корінь більше за інший (за модулем).

II.a. Якщо -p - позитивне число, (тобто p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Якщо -p - Негативне число, (p>0), то більший (за модулем) корінь - від'ємне число.

Розглянемо розв'язання квадратних рівнянь за теоремою Вієта на прикладах.

Розв'язати наведене квадратне рівняння за теоремою Вієта:

Тут q=12>0, тому коріння x1 і x2 числа одного знака. Їхня сума дорівнює -p=7>0, тому обидва корені — позитивні числа. Підбираємо цілі числа, добуток яких дорівнює 12. Це 1 і 12, 2 і 6, 3 і 4. Сума дорівнює 7 у пари 3 і 4. Отже, 3 і 4 — коріння рівняння.

У цьому прикладі q=16>0, отже, коріння x1 і x2 — числа одного знака. Їхня сума -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Тут q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, то більша кількість позитивна. Отже, коріння 5 та -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

При вивченні способів розв'язання рівнянь другого порядку в шкільному алгебри курсі, розглядають властивості отриманих коренів. Вони зараз відомі під назвою теореми Вієта. Приклади використання її наводяться у цій статті.

Квадратне рівняння

Рівняння другого порядку являє собою рівність, яка показана на фото нижче.

Тут символи a, b, c є деякими числами, що мають назву коефіцієнтів рівняння, що розглядається. Щоб розв'язати рівність, необхідно знайти такі значення x, які роблять його істинним.

Зауважимо, що оскільки максимальне значення ступеня, в яку зводиться ікс, дорівнює двом, тоді кількість коренів у загальному випадку також дорівнює двом.

Для вирішення цього рівності існує кілька способів. У цій статті розглянемо один із них, який передбачає використання так званої теореми Вієта.

Формулювання теореми Вієта

Наприкінці XVI відомий математик Франсуа Вієт (француз) помітив, аналізуючи властивості коренів різних квадратних рівнянь, що певні комбінації їх задовольняють конкретним співвідношенням. Зокрема, цими комбінаціями є їхній твір та сума.

Теорема Вієта встановлює наступне: коріння квадратного рівняння при їх сумі дають відношення коефіцієнтів лінійного до квадратичного взяте зі зворотним знаком, а при їх добутку призводять до відношення вільного члена до квадратичного коефіцієнта.

Якщо загальний вигляд рівняння записано так, як це представлено на фото у попередньому розділі статті, тоді математично цю теорему можна записати у вигляді двох рівностей:

• r 2 + r 1 = -b/a;
• r 1 х r 2 = c/a.

Де r 1 , r 2 - це значення коренів рівняння, що розглядається.

Наведені дві рівності можна використовувати для вирішення низки різних математичних завдань. Використання теореми Вієта у прикладах із рішенням наведено у наступних розділах статті.

Формулювання та доказ теореми Вієта для квадратних рівнянь. Зворотна теорема Вієта. Теорема Вієта для кубічних рівнянь та рівнянь довільного порядку.

Зміст

також: Коріння квадратного рівняння

Квадратні рівняння

Теорема Вієта

Нехай і позначають коріння наведеного квадратного рівняння
(1) .
Тоді сума коренів дорівнює коефіцієнту при взятому зі зворотним знаком. Твір коренів дорівнює вільному члену:
;
.

Зауваження щодо кратного коріння

Якщо дискримінант рівняння (1) дорівнює нулю, це рівняння має один корінь. Але, щоб уникнути громіздких формулювань, прийнято вважати, що в цьому випадку рівняння (1) має два кратні, або рівні, корені:
.

Доказ перший

Знайдемо коріння рівняння (1). Для цього застосуємо формулу для коріння квадратного рівняння:
;
;
.

Знаходимо суму коренів:
.

Щоб знайти твір, застосуємо формулу:
.
Тоді

.

Теорему доведено.

Доказ другий

Якщо числа є корінням квадратного рівняння (1), то
.
Розкриваємо дужки.

.
Таким чином, рівняння (1) набуде вигляду:
.
Порівнюючи з (1) знаходимо:
;
.

Теорему доведено.

Зворотна теорема Вієта

Нехай і є довільні числа. Тоді і є корінням квадратного рівняння
,
де
(2) ;
(3) .

Доказ зворотної теореми Вієта

Розглянемо квадратне рівняння
(1) .
Нам потрібно довести, що якщо і , то є корінням рівняння (1).

Підставимо (2) і (3) до (1):
.
Групуємо члени лівої частини рівняння:
;
;
(4) .

Підставимо в (4) :
;
.

Підставимо в (4) :
;
.
Рівняння виконується. Тобто число є коренем рівняння (1).

Теорему доведено.

Теорема Вієта для повного квадратного рівняння

Тепер розглянемо повне квадратне рівняння
(5) ,
де , І є деякі числа. Причому.

Розділимо рівняння (5) на:
.
Тобто ми отримали наведене рівняння
,
де; .

Тоді теорема Вієта для повного квадратного рівняння має такий вигляд.

Нехай і позначають коріння повного квадратного рівняння
.
Тоді сума та добуток коренів визначаються за формулами:
;
.

Теорема Вієта для кубічного рівняння

Аналогічним чином ми можемо встановити зв'язок між корінням кубічного рівняння. Розглянемо кубічне рівняння
(6) ,
де , , , є деякі числа. Причому.
Розділимо це рівняння на:
(7) ,
де , , .
Нехай , , є коріння рівняння (7) (і рівняння (6)). Тоді

.

Порівнюючи з рівнянням (7) знаходимо:
;
;
.

Теорема Вієта для рівняння n-го ступеня

Тим же способом можна знайти зв'язки між корінням , , ... , для рівняння n-го ступеня
.

Теорема Вієта для рівняння n-го ступеня має такий вигляд:
;
;
;

.

Щоб отримати ці формули, ми записуємо рівняння в наступному вигляді:
.
Потім прирівнюємо коефіцієнти при , , , ... і порівнюємо вільний член.

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.
С.М. Микільський, М.К. Потапов та ін., Алгебра: підручник для 8 класу загальноосвітніх установ, Москва, Просвітництво, 2006.

також:

Для початку сформулюємо саму теорему: Нехай ми маємо наведене квадратне рівняння виду x^2+b*x + c = 0. Припустимо, це рівняння містить коріння x1 і x2. Тоді за теоремою такі твердження допустимі:

1) Сума коренів x1 і x2 дорівнюватиме негативному значенню коефіцієнта b.

2) Твір цього самого коріння даватиме нам коефіцієнт c .

Але що таке наведене рівняння

Наведеним квадратним рівнянням називається квадратне рівняння, коефіцієнт старшого ступеня, який дорівнює одиниці, тобто. це рівняння виду x^2 + b * x + c = 0. (А рівняння a * x ^ 2 + b * x + c = 0 ненаведене). Іншими словами, щоб привести рівняння до наведеного виду, ми повинні розділити це рівняння на коефіцієнт при старшому ступені (a). Завдання привести дане рівняння до наведеного вигляду:

3*x^2 12*x + 18 = 0;

−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;

1,5 * x ^ 2 + 7,5 * x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.

Поділимо кожне рівняння на коефіцієнт старшого ступеня, отримаємо:

X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;

X^2 + 3,5*x − 5,5 = 0.

Як можна побачити з прикладів, навіть рівняння, що містять дроби, можна привести до наведеного вигляду.

Використання теореми Вієта

X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1 * x2 = 6;

одержуємо коріння: x1 = 2; x2 = 3;

X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = −6; x1 * x2 = 8;

в результаті одержуємо коріння: x1 = -2; x2 = -4;

X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1 * x2 = 4;

одержуємо коріння: x1 = −1; x2 = -4.

Значення теореми Вієта

Теорема Вієта дозволяє вирішити будь-яке квадратне наведене рівняння практично за секунди. На перший погляд це здається досить складним завданням, але після 5-10 рівнянь, можна навчитися бачити коріння відразу.

З наведених прикладів, і користуючись теоремою, видно як можна значно спростити розв'язання квадратних рівнянь, адже використовуючи цю теорему, можна вирішити квадратне рівняння практично без складних розрахунків і обчислення дискримінанта, а як відомо чим менше розрахунків, тим складніше припуститися помилки, що важливо.

У всіх прикладах ми використовували це правило, спираючись на два важливі припущення:

Наведене рівняння, тобто. коефіцієнт при старшому ступені дорівнює одиниці (ця умова легко уникнути. Можна використовувати ненаведений вид рівняння, тоді будуть допустимі наступні твердження x1+x2=-b/a; x1*x2=c/a, але зазвичай складніше вирішувати:))

Коли рівняння матиме два різні корені. Ми припускаємо, що нерівність вірна і дискримінант строго більше за нуль.

Тому ми можемо скласти загальний алгоритм рішення з теореми Вієта.

Загальний алгоритм рішення з теореми Вієта

Наводимо квадратне рівняння до виду, якщо рівняння дано нам у ненаведеному вигляді. Коли коефіцієнти у квадратному рівнянні, яке раніше ми представили як наведене, вийшли дробовими (не десятковими), то тут слід вирішувати наше рівняння через дискримінант.

Також трапляються випадки коли повернення до початкового рівняння дозволяє нам працювати зі “зручними” числами.