1 обчислити площу фігури обмеженою лініями. Знаходження площі фігури, обмеженої лініями y=f(x), x=g(y)

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями.

Рішення.

Знаходимо точки перетину заданих ліній. Для цього розв'язуємо систему рівнянь:

Для знаходження абсцис точок перетину заданих ліній розв'язуємо рівняння:

Знаходимо: x 1 = -2, x 2 = 4.

Отже, дані лінії, що являють собою параболу та пряму, перетинаються в точках A(-2; 0), B(4; 6).

Ці лінії утворюють замкнуту фігуру, площу якої обчислюємо за зазначеною вище формулою:

За формулою Ньютона-Лейбніца знаходимо:

Знайти площу області, обмеженої еліпсом.

Рішення.

З рівняння еліпса для I квадранта маємо. Звідси за формулою отримуємо

Застосуємо підстановку x = a sin t, dx = a cos t dt. Нові межі інтегрування t = α і t = β визначаються із рівнянь 0 = a sin t, a = a sin t. Можна покласти α = 0 і β = π /2.

Знаходимо одну четверту шуканої площі

Звідси S = πab.

Знайти площу фігури, обмеженою лініямиy = - x 2 + x + 4 таy = - x + 1.

Рішення.

Знайдемо точки перетину ліній y = -x 2 + x + 4, y = -x+ 1, прирівнюючи ординати ліній: - x 2 + x + 4 = -x+ 1 або x 2 - 2x- 3 = 0. Знаходимо коріння x 1 = -1, x 2 = 3 та відповідні їм ординати y 1 = 2, y 2 = -2.

За формулою площі фігури отримуємо

Визначити площу, обмежену параболоюy = x 2 + 1 та прямийx + y = 3.

Рішення.

Вирішуючи систему рівнянь

знаходимо абсциси точок перетину x 1 = -2 та x 2 = 1.

Вважаючи y 2 = 3 - xі y 1 = x 2 + 1, на підставі формули отримуємо

Обчислити площу, укладену всередині лемніскати Бернулліr 2 = a 2 cos 2 φ .

Рішення.

У полярній системі координат площа фігури, обмежена дугою кривою r = f(φ ) та двома полярними радіусами φ 1 = ʅ і φ 2 = ʆ , висловиться інтегралом

З огляду на симетрію криву визначаємо спочатку одну четверту шуканої площі

Отже, вся площа дорівнює S = a 2 .

Обчислити довжину дуги астроідиx 2/3 + y 2/3 = a 2/3 .

Рішення.

Запишемо рівняння астроїди у вигляді

(x 1/3) 2 + (y 1/3) 2 = (a 1/3) 2 .

Покладемо x 1/3 = a 1/3 cos t, y 1/3 = a 1/3 sin t.

Звідси отримуємо параметричні рівняння астроіди

x = a cos 3 t, y = a sin 3 t, (*)

де 0 ≤ t ≤ 2π .

Через симетрію криву (*) достатньо знайти одну четверту частину довжини дуги L, що відповідає зміні параметра tвід 0 до π /2.

Отримуємо

dx = -3a cos 2 t sin t dt, dy = 3a sin 2 t cos t dt.

Звідси знаходимо

Інтегруючи отриманий вираз у межах від 0 до π /2, отримуємо

Звідси L = 6a.

Знайти площу, обмежену спіраллю Архімедаr = aφ та двома радіусами-векторами, які відповідають полярним кутамφ 1 іφ 2 (φ 1 < φ 2 ).

Рішення.

Площа, обмежена кривою r = f(φ ) обчислюється за формулою , де α і β - межі зміни полярного кута.

Таким чином, отримуємо

(*)

З (*) випливає, що площа, обмежена полярною віссю та першим витком спіралі Архімеда ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):

Аналогічним чином знаходимо площу, обмежену полярною віссю та другим витком спіралі Архімеда ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):

Шукана площа дорівнює різниці цих площ

Обчислити об'єм тіла, отриманого обертанням навколо осіOx фігури, обмеженої параболамиy = x 2 іx = y 2 .

Рішення.

Розв'яжемо систему рівнянь

і отримаємо x 1 = 0, x 2 = 1, y 1 = 0, y 2 = 1, звідки точки перетину кривих O(0; 0), B(1; 1). Як видно на малюнку, об'єм тіла обертання, що шукається, дорівнює різниці двох об'ємів, утворених обертанням навколо осі Oxкриволінійних трапецій OCBAі ODBA:

Обчислити площу, обмежену віссюOx та синусоїдоюy = sinx на відрізках: а); б).

Рішення.

а) На відрізку функція sin xзберігає знак, і тому за формулою , вважаючи y= sin x, знаходимо

б) На відрізку , функція sin xзмінює знак. Для коректного розв'язання задачі необхідно відрізок розділити на два і [ π , 2π ], у кожному з яких функція зберігає знак.

За правилом знаків, на відрізку [ π , 2π ] площа береться зі знаком мінус.

У результаті, потрібна площа дорівнює

Визначити об'єм тіла, обмеженого поверхнею, отриманою від обертання еліпсанавколо великої осіa .

Рішення.

Враховуючи, що еліпс симетричний щодо осей координат, достатньо знайти об'єм, утворений обертанням навколо осі Oxплощі OAB, що дорівнює одній чверті площі еліпса, і отриманий результат подвоїти.

Позначимо об'єм тіла обертання через V x; тоді на підставі формули маємо , де 0 і a- абсциси точок Bі A. З рівняння еліпса знаходимо. Звідси

Таким чином, об'єм, що шукається, дорівнює . (При обертанні еліпса навколо малої осі b, об'єм тіла дорівнює )

Знайти площу, обмежену параболамиy 2 = 2 px іx 2 = 2 py .

Рішення.

Спочатку знайдемо координати точок перетину параболу, щоб визначити відрізок інтегрування. Перетворюючи вихідні рівняння, отримуємо і . Прирівнюючи ці значення, отримаємо або x 4 - 8p 3 x = 0.

x 4 - 8p 3 x = x(x 3 - 8p 3) = x(x - 2p)(x 2 + 2px + 4p 2) = 0.

Знаходимо коріння рівнянь:

Враховуючи той факт, що точка Aперетину парабол знаходиться в першій чверті, то межі інтегрування x= 0 і x = 2p.

Шукану площу знаходимо за формулою

З цієї статті ви дізнаєтеся, як знайти площу фігури, обмеженою лініями, використовуючи обчислення за допомогою інтегралів. Вперше з постановкою такого завдання ми стикаємося у старших класах, коли тільки-но пройдено вивчення певних інтегралів і настав час приступити до геометричної інтерпретації отриманих знань на практиці.

Отже, що буде потрібно для успішного вирішення задачі з пошуку площі фігури за допомогою інтегралів:

• Вміння грамотно будувати креслення;
• Вміння вирішувати певний інтеграл за допомогою відомої формули Ньютона-Лейбніца;
• Вміння «побачити» вигідніший варіант рішення - тобто. зрозуміти, як у тому чи іншому випадку буде зручніше проводити інтегрування? Вздовж осі ікс (OX) чи осі ігорок (OY)?
• Ну і куди без коректних обчислень? Сюди входить розуміння як вирішувати той інший тип інтегралів і правильні чисельні обчислення.

Алгоритм розв'язання задачі з обчислення площі фігури, обмеженої лініями:

1. Будуємо креслення. Бажано це робити на листку в клітку з великим масштабом. Підписуємо олівцем над кожним графіком назву цієї функції. Підпис графіків робиться виключно задля зручності подальших обчислень. Отримавши графік шуканої постаті, найчастіше буде видно відразу, які межі інтегрування буде використано. Таким чином, ми вирішуємо завдання графічним методом. Однак буває так, що значення меж дробові чи ірраціональні. Тому, можна зробити додаткові розрахунки, переходимо за крок два.

2. Якщо явно не задані межі інтегрування, то знаходимо точки перетину графіків один з одним, і дивимося, чи наше графічне рішення збігається з аналітичним.

3. Далі необхідно проаналізувати креслення. Залежно від цього, як розташовуються графіки функцій, існують різні підходи до знаходження площі фігури. Розглянемо різні приклади перебування площі фігури з допомогою інтегралів.

3.1. Найкласичніший і найпростіший варіант завдання, це коли потрібно знайти площу криволінійної трапеції. Що таке криволінійна трапеція? Це плоска фігура, обмежена віссю ікс (у = 0), Прямими х = а, х = bі будь-який кривий, безперервний на проміжку від aдо b. При цьому дана фігура невід'ємна і розташовується не нижче осі абсцис. У цьому випадку площа криволінійної трапеції чисельно дорівнює певному інтегралу, що обчислюється за формулою Ньютона-Лейбніца:

Приклад 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Якими лініями обмежена фігура? Маємо параболу y = x2 - 3x + 3, яка розташовується над віссю ОХ, Вона невід'ємна, т.к. всі точки цієї параболи мають позитивні значення. Далі задані прямі х = 1і х = 3, які пролягають паралельно до осі ОУ, є обмежувальними лініями фігури зліва та справа. Ну і у = 0, вона ж вісь ікс, яка обмежує фігуру знизу. Отримана фігура заштрихована, як видно із малюнка зліва. В даному випадку можна відразу приступати до вирішення задачі. Перед нами простий приклад криволінійної трапеції, яку вирішуємо за допомогою формули Ньютона-Лейбніца.

3.2. У попередньому пункті 3.1 розібрано випадок, коли криволінійна трапеція розташована над віссю ікс. Тепер розглянемо випадок, коли умови завдання такі самі, крім того, що функція пролягає під віссю ікс. До стандартної формули Ньютона-Лейбніца додається мінус. Як розв'язувати таку задачу розглянемо далі.

Приклад 2 . Обчислити площу фігури, обмеженою лініями y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

У цьому прикладі маємо параболу y = x2 + 6x + 2, яка бере свій початок з-під осі ОХпрямі х = -4, х = -1, у = 0. Тут у = 0обмежує шукану фігуру зверху. Прямі х = -4і х = -1це межі, у межах яких обчислюватиметься певний інтеграл. Принцип вирішення задачі на пошук площі фігури практично повністю збігається з прикладом номер 1. Єдина відмінність у тому, що задана функція не позитивна, і все також безперервна на проміжку [-4; -1] . Що означає не позитивна? Як видно з малюнка, фігура, яка полягає в рамках заданих іксів, має виключно «негативні» координати, що нам і потрібно побачити і пам'ятати при вирішенні задачі. Площу фігури шукаємо за формулою Ньютона-Лейбніца, тільки зі знаком мінус на початку.

Статтю не завершено.

Насправді, для того щоб знаходити площу фігури не треба так багато знань з невизначеного і певного інтегралу. Завдання «обчислити площу за допомогою певного інтегралу» завжди передбачає побудову кресленняТому набагато актуальнішим питанням будуть ваші знання та навички побудови креслень. У зв'язку з цим корисно освіжити в пам'яті графіки основних елементарних функцій, а, як мінімум, вміти будувати пряму, і гіперболу.

Криволінійною трапецією називається плоска фігура, обмежена віссю , прямими , і безперервною графіком на відрізку функції , яка не змінює знак на цьому проміжку. Нехай ця фігура розташована не нижчеосі абсцис:

Тоді площа криволінійної трапеції чисельно дорівнює певному інтегралу. Будь-який певний інтеграл (який існує) має дуже хороший геометричний зміст.

З погляду геометрії певний інтеграл – це ПЛОЩА.

Тобто,певному інтегралу (якщо він існує) геометрично відповідає площа певної постаті. Наприклад, розглянемо певний інтеграл. Підінтегральна функція задає на площині криву, що знаходиться вище за осі (бажаючі можуть виконати креслення), а сам певний інтеграл чисельно дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції.

Приклад 1

Це типове формулювання завдання. Перший і найважливіший моментрішення - побудова креслення. Причому креслення необхідно побудувати ПРАВИЛЬНО.

При побудові креслення я рекомендую наступний порядок: спочаткукраще побудувати всі прямі (якщо вони є) і тільки потім- параболи, гіперболи, графіки інших функцій. Графіки функцій вигідніше будувати крапково.

У цій задачі рішення може мати такий вигляд.
Виконаємо креслення (зверніть увагу, що рівняння задає вісь):

На відрізку графік функції розташований над віссютому:

Відповідь:

Після того, як завдання виконане, завжди корисно поглянути на креслення і прикинути, чи реальна вийшла відповідь. У цьому випадку «на вічко» підраховуємо кількість клітин у кресленні - ну, приблизно 9 набереться, схоже на правду. Цілком зрозуміло, що якби в нас вийшов, скажімо, відповідь: 20 квадратних одиниць, то, очевидно, що десь припущена помилка - у розглянуту фігуру 20 клітинок явно не вміщається, від сили десяток. Якщо відповідь вийшла негативною, то завдання теж вирішено некоректно.

Приклад 3

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями і координатними осями.

Рішення: Виконаємо креслення:

Якщо криволінійна трапеція розташована під віссю(або, принаймні, не вищецієї осі), то її площу можна знайти за формулою:

В даному випадку:

Увага! Не слід плутати два типи завдань:

1) Якщо Вам запропоновано вирішити просто певний інтеграл без жодного геометричного сенсу, то він може бути негативним.

2) Якщо Вам запропоновано знайти площу фігури за допомогою певного інтеграла, то площа завжди позитивна! Саме тому у щойно розглянутій формулі фігурує мінус.

На практиці найчастіше фігура розташована і у верхній і нижній півплощині, а тому, від найпростіших шкільних завдань переходимо до більш змістовних прикладів.

Приклад 4

Знайти площу плоскої фігури, обмеженою лініями , .

Рішення: Спочатку потрібно виконати креслення Загалом кажучи, при побудові креслення у завданнях на площу нас найбільше цікавлять точки перетину ліній. Знайдемо точки перетину параболи та прямий. Це можна зробити двома способами. Перший спосіб – аналітичний. Вирішуємо рівняння:

Значить, нижня межа інтегрування, верхня межа інтегрування.

Цим способом краще, наскільки можна, не користуватися.

Набагато вигідніше і швидше побудувати лінії поточечно, у своїй межі інтегрування з'ясовуються хіба що «самі собою». Тим не менш, аналітичний спосіб знаходження меж все-таки доводиться іноді застосовувати, якщо, наприклад, графік досить великий, або поточена побудова не виявила меж інтегрування (вони можуть бути дрібними або ірраціональними). І такий приклад ми теж розглянемо.

Повертаємося до нашого завдання: раціональніше спочатку побудувати пряму і лише потім параболу. Виконаємо креслення:

А тепер робоча формула: Якщо на відрізку деяка безперервна функція більше або дорівнюєдеякої безперервної функції , то площа фігури, обмеженої графіками даних функцій і прямими , можна знайти за формулою:

Тут уже не треба думати, де розташована постать - над віссю чи під віссю, і, грубо кажучи, важливо, який графік Вище(щодо іншого графіка), а який - НИЖЧЕ.

У прикладі очевидно, що на відрізку парабола розташовується вище прямої, а тому необхідно відняти

Завершення рішення може мати такий вигляд:

Потрібна фігура обмежена параболою зверху і прямою знизу.
На відрізку , за відповідною формулою:

Відповідь:

Приклад 4

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями , , , .

Рішення: Спочатку виконаємо креслення:

Фігура, площу якої нам потрібно знайти, заштрихована синім кольором(Уважно дивіться на умову – чим обмежена фігура!). Але на практиці через неуважність нерідко виникає «глюк», що потрібно знайти площу фігури, яка заштрихована зеленим кольором!

Цей приклад корисний і тим, що в ньому площа фігури вважається за допомогою двох певних інтегралів.

Дійсно:

1) На відрізку над віссю розташований графік прямий;

2) На відрізку над віссю розташований графік гіперболи.

Цілком очевидно, що площі можна (і потрібно) приплюсувати, тому:

Як обчислити об'єм тіла обертанняза допомогою певного інтегралу?

Уявіть деяку плоску фігуруна координатної площини. Її площу ми вже знаходили. Але, крім того, цю фігуру можна ще й крутити, причому крутити двома способами:

Навколо осі абсцис;

Навколо осі ординат .

У цій статті буде розібрано обидва випадки. Особливо цікавий другий спосіб обертання, він викликає найбільші труднощі, але насправді рішення практично таке саме, як і в більш поширеному обертанні навколо осі абсцис.

Почнемо з найбільш популярного різновиду обертання.

Ми розібралися зі знаходженням площі криволінійної трапеції G. Ось отримані формули:
для безперервної та невід'ємної функції y=f(x) на відрізку ,
для безперервної та непозитивної функції y=f(x) на відрізку .

Однак при вирішенні завдань на перебування площі дуже часто доводиться мати справу з складнішими фігурами.

У цій статті ми поговоримо про обчислення площі фігур, межі яких задані функціями в явному вигляді, тобто, як y = f (x) або x = g (y) і докладно розберемо рішення характерних прикладів.

Навігація на сторінці.

Формула для обчислення площі фігури, обмеженої лініями y = f (x) або x = g (y).

Теорема.

Нехай функції і визначені і безперервні на відрізку, причому для будь-якого значення x. Тоді площа фігури G , обмеженою лініями x=a , x=b і обчислюється за формулою .

Аналогічна формула справедлива для площі фігури, обмеженої лініями y=c, y=d, і: .

Доказ.

Покажемо справедливість формули для трьох випадків:

У першому випадку, коли обидві функції невід'ємні, через властивість адитивності площі сума площі вихідної фігури G і криволінійної трапеції дорівнює площі фігури . Отже,

Тому, . Останній перехід можливий з третього властивості певного інтеграла.

Аналогічно, у другому випадку справедлива рівність. Ось графічна ілюстрація:

У третьому випадку, коли обидві функції є непозитивними, маємо . Проілюструємо це:

Тепер можна переходити до загального випадку, коли функції перетинають вісь Ox .

Позначимо точки перетину. Ці точки розбивають відрізок на n частин, де. Фігуру G можна уявити об'єднанням фігур . Очевидно, що на своєму інтервалі потрапляє під один із трьох розглянутих раніше випадків, тому їхні площі перебувають як

Отже,

Останній перехід справедливий у силу п'ятої якості певного інтеграла.

Графічна ілюстраціязагального випадку.

Таким чином, формула доведено.

Настав час перейти до вирішення прикладів на знаходження площі фігур, обмежених лініями y=f(x) та x=g(y).

Приклади обчислення площі фігури, обмеженої лініями y = f (x) або x = g (y).

Розв'язання кожного завдання починатимемо з побудови фігури на площині. Це нам дозволить складну фігуру уявити як поєднання більш простих фігур. При складнощі з побудовою звертайтеся до статей: ; та .

приклад.

Обчислити площу фігури, обмеженою параболою і прямими x = 1 x = 4 .

Рішення.

Побудуємо ці лінії на площині.

Усюди на відрізку графік параболи вище прямий. Тому, застосовуємо отриману раніше формулу для площі та обчислюємо певний інтеграл за формулою Ньютона-Лейбніца:

Трохи ускладнимо приклад.

приклад.

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями .

Рішення.

У чому тут на відміну від попередніх прикладів? Раніше у нас завжди були дві прямі, паралельні осі абсцис, а зараз тільки одна x=7 . Відразу постає питання: де взяти другу межу інтегрування? Давайте для цього поглянемо на креслення.

Стало зрозуміло, що нижньою межею інтегрування при знаходженні площі фігури є абсцис точки перетину графіка прямий y=x і напівпараболи. Цю абсцису знайдемо з рівності:

Отже, абсцисою точки перетину є x=2.

Зверніть увагу.

У нашому прикладі і за кресленням видно, що лінії y=x перетинаються в точці (2;2) і попередні обчислення здаються зайвими. Але в інших випадках все може бути не так очевидним. Тому рекомендуємо завжди аналітично обчислювати абсциси та ординати точок перетину ліній.

Очевидно, графік функції y = x розташований вище за графік функції на інтервалі . Застосовуємо формулу для обчислення площі:

Ще ускладнимо завдання.

приклад.

Обчислити площу фігури, обмеженої графіками функцій та .

Рішення.

Побудуємо графік зворотної пропорційності та параболи .

Перш ніж застосовувати формулу для знаходження площі фігури, потрібно визначитися з межами інтегрування. Для цього знайдемо абсциси точок перетину ліній, прирівнявши вирази та .

При відмінних від нуля значеннях x рівність еквівалентно рівнянню третього ступеня із цілими коефіцієнтами. Можете звернутися до розділу, щоб згадати алгоритм його вирішення.

Легко перевірити, що x=1 є коренем цього рівняння: .

Розділивши вираз на двочлен x-1 маємо:

Таким чином, коріння, що залишилося, знаходяться з рівняння :

Тепер з креслення стало видно, що фігура G укладена вище синій і нижче червоної лінії на інтервалі . Таким чином, потрібна площа буде рівна

Розглянемо ще один характерний приклад.

приклад.

Обчислити площу фігури, обмеженою кривими і віссю абсцис.

Рішення.

Зробимо креслення.

Це звичайна статечна функція з показником одна третина, графік функції можна отримати з графіка, відобразивши його симетрично щодо осі абсцис і піднявши на одиницю вгору.

Знайдемо точки перетину всіх ліній.

Ось абсцис має рівняння y=0.

Графіки функцій і y=0 перетинаються у точці (0;0) оскільки x=0 є єдиним дійсним коренем рівняння .

Графіки функцій та y=0 перетинаються в точці (2;0) , оскільки x=2 є єдиним коренем рівняння .

Графіки функцій та перетинаються в точці (1; 1), так як x = 1 є єдиним коренем рівняння . Це твердження не зовсім очевидне, але – функція строго зростаюча, а - суворо спадаюча, тому, рівняння має не більше одного кореня.

Єдине зауваження: у цьому випадку для знаходження площі доведеться використати формулу виду . Тобто обмежувальні лінії потрібно подати у вигляді функцій від аргументу y, а чорною лінією.

Визначимо точки перетину ліній.

Почнемо з графіків функцій та:

Знайдемо точку перетину графіків функцій та:

Залишилося знайти точку перетину прямих і :

Як бачите, значення збігаються.

Підіб'ємо підсумок.

Ми розібрали всі випадки, що найчастіше зустрічаються, площі фігури, обмеженої явно заданими лініями. Для цього потрібно вміти будувати лінії на площині, знаходити точки перетину ліній та застосовувати формулу для знаходження площі, що передбачає наявність навичок обчислення певних інтегралів.

Приклад1 . Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: х + 2у - 4 = 0, у = 0, х = -3, і х = 2

Виконаємо побудову фігури (див. рис.) Будуємо пряму х + 2у – 4 = 0 за двома точками А(4;0) та В(0;2). Виразивши у через х отримаємо у = -0,5х + 2. За формулою (1), де f(x) = -0,5х + 2, а = -3, в = 2, знаходимо

S = = [-0,25 = 11,25 кв. од

приклад 2. Обчислити площу фігури, обмеженою лініями: х – 2у + 4 = 0, х + у – 5 = 0 та у = 0.

Рішення. Виконаємо побудову фігури.

Побудуємо пряму х - 2у + 4 = 0: у = 0, х = - 4, А (-4; 0); х = 0, у = 2, (0; 2).

Побудуємо пряму х + у - 5 = 0: у = 0, х = 5, С (5; 0), х = 0, у = 5, D (0; 5).

Знайдемо точку перетину прямих, розв'язавши систему рівнянь:

х = 2, у = 3; М(2; 3).

Для обчислення шуканої площі розіб'ємо трикутник АМС на два трикутники АМN і NМС, тому що при зміні х від А до N площа обмежена прямою, а при зміні х від N до С - прямий

Для трикутника АМN маємо: ; у = 0,5 х + 2, тобто f(x) = 0,5 х + 2, a = - 4, b = 2.

Для трикутника NМС маємо: y = – x + 5, тобто f(x) = – x + 5, a = 2, b = 5.

Обчисливши площу кожного з трикутників та склавши результати, знаходимо:

кв. од.

кв. од.

9+4,5 = 13,5 кв. од. Перевірка: = 0,5 АС = 0,5 кв. од.

приклад 3. Обчислити площу фігури, обмеженою лініями: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3

В даному випадку потрібно обчислити площу криволінійної трапеції, обмеженої параболою y = x 2 , Прямими x = 2 і x = 3і віссю Ох(див. рис.) За формулою (1) знаходимо площу криволінійної трапеції

= = 6кв. од.

приклад 4. Обчислити площу фігури, обмеженою лініями: у = - x 2 + 4 та у = 0

Виконаємо побудову фігури. Потрібна площа укладена між параболою у = - x 2 + 4 та віссю Ох.

Знайдемо точки перетину параболи із віссю Ох. Вважаючи у = 0, знайдемо х = Так як ця фігура симетрична щодо осі Оу, то обчислимо площу фігури, розташованої праворуч від осі Оу, і отриманий результат вдвох: = +4x] кв. од. 2 = 2 кв. од.

Приклад 5. Обчислити площу фігури, обмеженою лініями: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Тут потрібно обчислити площу криволінійної трапеції, обмеженою верхньою гілкою параболиy 2 = x, віссю Ох і прямими x = 1x = 4 (див. рис.)

За формулою (1), де f(x) = a = 1 та b = 4 маємо = (= кв. од.

Приклад 6 . Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: y = sinx, y = 0, x = 0, x = .

Шукана площа обмежена напівхвильової синусоїди та віссю Ох (див. рис.).

Маємо – cosx = – cos = 1 + 1 = 2 кв. од.

Приклад 7. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: y = - 6х, у = 0 та х = 4.

Фігура розташована під віссю Ох (див. мал.).

Отже, її площу знаходимо за формулою (3)

= =

Приклад 8. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: y = і х = 2. Криву y = збудуємо за точками (див. рис.). Таким чином, площу фігури знаходимо за формулою (4)

Приклад 9 .

х 2 + у 2 = r 2 .

Тут потрібно обчислити площу, обмежену колом х 2 + у 2 = r 2 , тобто площа кола радіуса r із центром на початку координат. Знайдемо четверту частину цієї площі, взявши межі інтегрування від 0

доr; маємо: 1 = = [

Отже, 1 =

Приклад 10 Обчислити площу фігури, обмеженою лініями: у = х 2 і у = 2х

Дана фігура обмежена параболою у = х 2 і прямий у = 2х (див. рис.) Для визначення точок перетину заданих ліній розв'яжемо систему рівнянь:х 2 - 2х = 0 х = 0 і х = 2

Використовуючи для знаходження площі формулу (5), отримаємо

= }